人们在工作和生活中熟练地使用着数，只要按照运算律进行计算，就不用怀疑结果是否正确。面对着那些似乎天经地义的运算法则，一般人根本不会多想，更看不出什么花样来。即使是碰到了似是而非的概念，大部分人也是选择视而不见，因为它们似乎并不影响最终的结果。然而数作为大自然的语言，数学家们并不甘心只是把它当做一般的对话工具，而是想通过它与世界进行更深层次的交流，并将其转变成探索世界的武器。
事实证明，对于简单问题的深入思考，有时候会颠覆人们的传统认识，数学史上的重大发现很多都来自一些“基本问题”，并且新理论总会让人离真相更近一步。我们先不急于看到真相，而是从故事开始的地方，追寻先人的步伐，总有一天，你也会走出自己的步调。在“集合论”中大家已经感受过自然数的公理化定义，这一篇我们将继续进行数的构造，相信大家是有着精神准备并充满好奇的。
1. 自然数
用集合定义自然数虽然完美，但不符合直觉，一般人不容易想到。历史上较早出现的定义来自皮亚诺（Peano）的公理系统，之前我们顺带提过，现在就来看看它的具体内容吧。皮亚诺公理是说自然数集(Bbb N)满足以下公理：
（I）(1in Bbb{N})。(1)是自然数，但(1)不作定义。
（II）(ain Bbb{N}Rightarrow a^+in Bbb{N})。任何自然数都有一个“后继”，它也是自然数。
（III）(a^+=b^+Rightarrow a=b)。后继相等的两个自然数也相等。
（IV）(forall a(a^+ e 1))。(1)不是任何自然数的后继。
（V）(Msubset Bbb{N}wedge 1in Mwedge (ain MRightarrow a^+in M)Rightarrow M=Bbb{N})。归纳公理。
皮亚诺公理更符合直觉的认识，理解起来也没有困难。(1)和“后继”不作定义，前两条公理确定了自然数的链式结构，后面两条避免了环的产生，最后的归纳公理排除了多余的元素，它是数学归纳法的依据。这里的很多概念与集合论中的定义十分相像，它们同样也可以推导出自然数的各种性质，并且严格地定义加法、乘法、大小，以及证明各种运算律。
你有必要亲自尝试一下这些证明和定义，因为通过研究和摸索，你会惊叹从这几条简单的公理居然可以推出那么多的性质，并且很多看似显然的结论证明起来却并不轻松。通过练习，你更能感受到抽象和研究的魅力，感受各种性质的可证性，并认识到严格定义数的必要性。这里简单列一些问题，读者可以稍加练习：
• 任何自然数不以自己为后继；
• 除(1)外任何自然数都是别人的后继；
• 定义加法、乘法，证明交换律、结合律、分配率、消去律；
• 定义大小，证明其传递性、三歧性、运算下的单调性；
• (n)和其后继之间没有其它数；
• 最小数原理。
有心的读者可能注意到，集合论中我们是以(0)作为自然数的起点的，而这里却是以(1)为起点。其实单纯从自然数的结构来说，起点叫什么并不重要，区别主要发生在加法和乘法的定义里。(0)会让运算的定义变得复杂，这里我们选择推迟引入，好让大家把注意力集中在构造的原理和方法上。
2. 有理数
自然数有加法和乘法运算，但它们的逆运算却并不总是有意义的，需要根据这个需求对自然数进行扩展。不管是差还是商，都可以用一个自然数对表示，从而负数和分数皆可以定义为数对。为了减少(0)的影响，可以先定义正分数。按照除法的性质可以定义自然数对的“相等”，等价的自然数对被定义为正分数，并将自然数嵌入其中。然后依次定义大小、四则运算、运算律、倒数，这些工作没有难点，可以作为练习。
正分数要比自然数多出许多，一些新的性质是需要被明确指出的。一个是显然的稠密性，它是说任何两个正分数之间都存在另一个正分数，这个是比较容易构造出来的。另一个就是阿基米德性：对任何正分数(x,y)，都存在自然数(n)，使得(x<ny)。你可能觉得阿基米德性也很显然，但请考虑一下“集合论”中的超限数，在那里它是不成立的。阿基米德性被频繁地使用，你甚至觉察不出它是一条性质，但是从公理出发它并不是那么明显，你可以尝试证明一下。稠密性和阿基米德性在有理数和实数中同样成立，那里就不再重复说明了。
自然数在除法上扩展后，需在减法上继续扩展。类似于正分数的定义，先要在减法的意义上定义正分数对的“相等”，然后将等价的正分数对定义为有理数，并将正分数嵌入其中。接着类似地定义大小、四则运算、运算律、相反数、绝对值。有理数集被记为(Bbb{Q})，自然数在减法运算下的扩展被称为整数(Bbb{Z})。
有理数在加法和减法上已经完全封闭，而且它貌似已经布满数轴，我们好像不再需要别的数了。毕达哥拉斯当初也是这样自信，但在经典的(sqrt{2})是无理数的证明面前，最终还是一筹莫展。一个稠密的点集之间居然还有未知的数存在，人们对看似简单的数轴突然产生了戒心，这些幽灵一样的数该如何定义？
现在是中场休息时间，思考一下如何证明(sqrt{D})（(D)为非平方自然数）是无理数？(sqrt{2})是无理数的证明虽然经典，但却不具有通用性，如果仅限于初等方法，我们需要另辟蹊径。这里的证明思想叫做无穷递降法，它发明于古希腊时期，现在在数论中仍有广泛的应用。如果(sqrt{D})可表示为既约分数(dfrac{p}{q})，设(0<p-mq<q)，利用(p^2=Dq^2)可以构造出(dfrac{nq-mp}{p-mq}=dfrac{p}{q})，它的分母比(q)小，这是不可能的。
3. 实数
3.1 戴德金分割
历史上最成功的实数定义来自戴德金，他将有理数集(Bbb{Q})分割为左右两个非空集合(xi,overline{xi})，其中右集(overline{xi})中的元素皆大于左集(xi)中的元素，且左集没有最大值。戴德金将(xi)被定义为一个实数，实数集记作(Bbb{R})。当右集中有最小值(r)时，这一刀正好切在有理数(r)上，这个分割就是(r)对应的实数。当右集中没有最小值时，它当然就是我们需要的无理数。在继续前进之前，先用几个问题复习一下概念，也顺便热热身。
• “右集的元素大于左集的元素”这一条件等价于：(rinxiwedge r'<rRightarrow r'inxi)；
• (sqrt{2}inBbb R)；
• 对任意(varepsilon>0)，都有(exists rinxi,overline{r}inoverlinexi(overline{r}-r<varepsilon))。
下面先来定义实数的大小：当(xisubseteta)时，定义(xi<eta)，容易证明该定义的三歧性和传递性。接下来就是定义加法和乘法，以及它们的运算律。亲自定义并证明这些概念会提高你对严格定义的认同感，下面是加法的定义，希望你能从证明它的合法性开始进行探索。
[xi+eta={a+b|ainxi,bineta}]
我们的主要问题是：这样定义的实数能否布满数轴呢？换句话说，在数轴上一刀切下去，切到的必然是实数吗？类似于戴德金分割，将实数集(Bbb{N})分割为左右集(X,overline{X})，我们要证明的是：(overline{X})中必有最小值，因为它就是分割点。考察所有左集之并(xi=cup X)，先证明(xi)是一个实数，然后证明它不小于(X)中的任何数且不大于(overline{X})中的任何数，所以它必是(overline{X})的最小值。这就证明了我们的结论，实数在数轴上没有空隙，这个性质被称为实数的完备性或连续性。实数的完备性是它区别于其它数的最大特性，它是分析学的根基，我们将在下一篇对它进行深入探讨，并给出与完备性等价的几个实数基本定理。
3.2 康托尔定义
早在19世纪的上半页，柯西、维尔斯特拉斯等人就着手进行分析学的严格化工作，其中就包括实数的严格定义。柯西将实数定义为有理数序列的极限，但他并没有发觉，他的定义中事先承认了极限这个“数”的存在，所以它是个循环定义。在继续前进之前，我们需要几个概念。序列(a_0,a_1,a_2,cdots)称为一个数列（sequence），记作({a_n})，(a_n)称为数列的通项。数列可以看作是某个数集到自然数集的映射，若数列满足以下条件，它称为基本序列或柯西数列。柯西就是把实数定义为基本序列的极限，本篇不打算引入极限，而统统将之取代为基本序列，在下一篇中我们将看到它们其实是等价的。
[forallvarepsilon>0exists N(m,n>NRightarrowleft|{a_m-a_n} ight|<varepsilon)]
若两个基本序列({a_n},{a'_n})满足以下条件，称它们为等价的，记作({a_n}sim{a'_n})。容易证明(sim)是一个等价关系，康托尔将有理数基本序列的等价类([{a_n}])定义为一个实数。仅用有理数(r)组成的数列({r})显然是基本序列，它所在的等价类就被定义为有理数数(r)，不同的有理数是不等价的。
[forall varepsilon>0exists N(n>NRightarrowleft|{a_n-b_n} ight|<varepsilon)]
对两个实数(alpha,eta)，取其代表序列({a_n},{b_n})，容易证明(n)足够大时必有(a_n>b_n)或(a_n<b_n)成立，这可以作为实数大小的定义。下面是实数加法的定义，乘法和运算律留给读者完成。
[[{a_n}]+[{b_n}]=[{a_n+b_n}]]
如上所述，不与某个有理数等价的基本数列应当就是无理数了，它们能否填满数轴的空隙？即任何实数是否都可以逼近，用本节的语言就是实数基本数列是否必然与某个实数等价？这里会出现实数距离的概念，可以暂且定义为其代表序列的距离。对实数基本序列(alpha_0,alpha_1,alpha_2,cdots)，取其代表有理数序列({a_{0n}},{a_{1n}},{a_{2n}},cdots)。考察有理数列(a_{00},a_{11},a_{22},cdots)，先证明它是基本数列，再证明它所代表的实数就是要找的数，这就证明了实数的完备性。
3.3 展望
戴德金分割和康托尔定义的实数之间可以建立一一映射，它们是同构的，在历史上都有着很高的地位。但由于表达上的繁琐和定义的差异，不便于在论证中直接使用，下篇将介绍的实数基本定理与它们是等价的，而且更容易理解和使用，今后会使用它们作为实数完备性的等价物。
实数表示一条直线上的点，那么平面上的每个点能否表示数呢？高斯将复数和二维平面的点对应起来，彻底回答了这个问题。你可能会乐观地猜测空间上的每一点也能表示数，这个说法不能算错，因为我们连数的定义都没有！随着抽象代数的成熟，人们把数看成是满足一定运算法则的代数系统。可惜的是，复数已经是满足现有运算律的最大系统了，想要再大的话就必须牺牲掉一些运算律，比如哈密尔顿的四元数就不满足交换律。
说到代数系统，其实可以把有理数看做是实数的一个子系统，子系统对四则运算是完全封闭的。实数中还有其它的子系统，比较重要的一类来自对多项式的研究。有理数可以看做是所有满足整系数方程(a_0x+a_1=0(a_0 e 0))的实数，将这个概念进行扩展，一般称满足方程(sumlimits_{i=0}^n{a_ix^i}= 0(a_n e 0))的（复）数为代数数，最低满足(n)阶方程的数称为(n)阶代数数。容易证明代数数是可数的，自然实代数数也是可数的，所以实数中还有不是实代数数的数，它被称为超越数，典型的代表就是(pi)和(e)。你可能认为代数数就是带有各种根号的数，反过来说的确是对的，但大部分代数数却无法用有限的表达式来表示！这个精彩的命题就放到抽象代数中再说吧。