C++编程练习(10)----“图的最小生成树“（Prim算法、Kruskal算法）

1、Prim 算法

以某顶点为起点，逐步找各顶点上最小权值的边来构建最小生成树。

2、Kruskal 算法

直接寻找最小权值的边来构建最小生成树。

比较：

Kruskal 算法主要是针对边来展开，边数少时效率会非常高，所以对于稀疏图有很大的优势。

Prim 算法针对顶点展开，对于稠密图，即边数非常多的情况下会更好。

具体代码如下：

/* Graph.h头文件 */
/*包含图的建立：图的深度优先遍历、图的广度优先遍历*/
/*包含图的最小生成树：Prim 算法、Kruskal 算法*/
#include<iostream>
#include"LinkQueue.h"
#define MAXVEX 100
#define MAXEDGE 100
#define INFINITY 65535
#define TRUE 1
#define FALSE 0
typedef char VertexType;
typedef int EdgeType;
typedef int Boolean;
using namespace std;

/*邻接矩阵方式建立图*/
class MGraph{
public:
	VertexType vexs[MAXVEX];
	EdgeType arc[MAXVEX][MAXVEX];
	int numVertexes,numEdges;
};

/*建立无向网图的邻接矩阵表示*/
void CreateMGraph(MGraph *G)
{
	int i,j,k,w;
	cout<<"输入顶点数和边数："<<endl;
	cin>>G->numVertexes>>G->numEdges;
	cin.clear();
	cout<<"输入顶点信息："<<endl;
	for(i=0;i<G->numVertexes;i++)
	{
		cin>>G->vexs[i];
		cin.clear();
	}
	for(i=0;i<G->numVertexes;i++)
		for(j=0;j<G->numVertexes;j++)
		{
			if (i==j)
				G->arc[i][j]=0;
			else
				G->arc[i][j]=INFINITY;
		}
	for(k=0;k<G->numEdges;k++)
	{
		cout<<"输入边（vi,vj）上的下标i，下标j和权w:"<<endl;
		cin>>i>>j>>w;
		cin.clear();
		G->arc[i][j]=w;
		G->arc[j][i]=G->arc[i][j];
	}
}

/*邻接矩阵的深度优先递归算法*/
Boolean visited[MAXVEX];	/*访问标志的数组*/
void DFS(MGraph G,int i)
{
	int j;
	visited[i]=TRUE;
	cout<<G.vexs[i];	/*打印顶点，也可以其他操作*/
	for(j=0;j<G.numVertexes;j++)
		if(G.arc[i][j]==1 && !visited[j])
			DFS(G,j);	/*对为访问的邻接顶点递归调用*/
}
/*邻接矩阵的深度优先遍历操作*/
void DFSTraverse(MGraph G)
{
	cout<<"
深度优先遍历结果为："<<endl;
	int i;
	for(i=0;i<G.numVertexes;i++)
		visited[i]=FALSE;	/*初始化所有顶点状态都是未访问过状态*/
	for(i=0;i<G.numVertexes;i++)
		if(!visited[i])	/*对未访问过的顶点调用DFS，若是连通图，只会执行一次*/
			DFS(G,i);
	cout<<endl;
}

/*邻接矩阵的广度遍历算法*/
void BFSTraverse(MGraph G)
{
	cout<<"广度优先遍历结果为："<<endl;
	int i,j;
	LinkQueue Q;
	for(i=0;i<G.numVertexes;i++)
		visited[i]=FALSE;
	for(i=0;i<G.numVertexes;i++)
	{
		if(!visited[i])
		{
			visited[i]=TRUE;
			cout<<G.vexs[i];
			Q.EnQueue(i);
			while(!Q.QueueEmpty())
			{
				Q.DeQueue(&i);
				for(j=0;j<G.numVertexes;j++)
				{
					if(G.arc[i][j]==1 && !visited[j])
					{
						visited[j]=TRUE;
						cout<<G.vexs[j];
						Q.EnQueue(j);
					}
				}
			}
		}
	}
	cout<<endl;
}

/* Prim算法生成最小生成树 */
void MiniSpanTree_Prim(MGraph G)
{
	cout<<"Prim算法生成最小生成树，结果为："<<endl;
	int min,i,j,k;
	int adjvex[MAXVEX];
	int lowcost[MAXVEX];
	lowcost[0]=0;
	adjvex[0]=0;
	for(i=1;i<G.numVertexes;i++)
	{
		lowcost[i]=G.arc[0][i];
		adjvex[i]=0;
	}
	for(i=1;i<G.numVertexes;i++)
	{
		min=INFINITY;
		j=1;k=0;
		while(j<G.numVertexes)
		{
			if(lowcost[j]!=0 && lowcost[j]<min)
			{
				min=lowcost[j];
				k=j;
			}
			j++;
		}
		cout<<"("<<adjvex[k]<<","<<k<<")"<<endl;
		lowcost[k]=0;
		for(j=1;j<G.numVertexes;j++)
		{
			if(lowcost[j]!=0 && G.arc[k][j]<lowcost[j])
			{
				lowcost[j]=G.arc[k][j];
				adjvex[j]=k;
			}
		}
	}
	cout<<endl;
}

/* Kruskal 算法生成最小生成树 */

class Edge{		/*对边集数组Edge结构的定义*/
public:
	int begin;
	int end;
	int weight;
};

void Swap(Edge *edges,int i,int j)		/* 交换权值 以及头和尾 */
{
	int temp;
	temp=edges[i].begin;
	edges[i].begin=edges[j].begin;
	edges[j].begin=temp;
	temp=edges[i].end;
	edges[i].end=edges[j].end;
	edges[j].end=temp;
	temp=edges[i].weight;
	edges[i].weight=edges[j].weight;
	edges[j].weight=temp;
}

void sort(Edge edges[],MGraph *G)		/* 对权值进行排序 */
{
	int i,j;
	for ( i=0;i<G->numEdges;i++)
	{
		for ( j=i+1;j<G->numEdges;j++)
		{
			if (edges[i].weight>edges[j].weight)
			{
				Swap(edges,i,j);
			}
		}
	}
	cout<<"权排序之后的为:"<<endl;
	for (i=0;i<G->numEdges;i++)
	{
		cout<<"("<<edges[i].begin<<","<<edges[i].end<<")"<<endl;
	}
}

int Find(int *parent,int f)		/*查找连线顶点的尾部下标*/
{
	while (parent[f]>0)
		f=parent[f];
	return f;
}

void MiniSpanTree_Kruskal(MGraph G)
{
	int i,j,n,m;
	Edge edges[MAXEDGE];
	int parent[MAXVEX];

	/*将邻接数组G转化为边集数组edges并按权由小到大排序*******BEGIN*********/
	int k=0;
	for ( i=0;i<G.numVertexes-1;i++)
	{
		for (j=i+1;j<G.numVertexes;j++)
		{
			if (G.arc[i][j]<INFINITY)
			{
				edges[k].begin=i;
				edges[k].end =j;
				edges[k].weight=G.arc[i][j];
				k++;
			}
		}
	}
	sort(edges, &G);
	/***************END***********************/

	for (i=0;i<G.numVertexes;i++)
		parent[i]=0;	/* 初始化数组值为0 */
	cout<<"Kruskal 算法生成最小生成树，结果为："<<endl;
	for (i=0;i<G.numEdges;i++)	/* 循环每一条边 */
	{
		n=Find(parent,edges[i].begin);
		m=Find(parent,edges[i].end);
		if (n!=m) /* 假如n与m不等，说明此边没有与现有的生成树形成环路 */
		{
			parent[n]=m;	/* 将此边的结尾顶点放入下标为起点的parent中。 */
							/* 表示此顶点已经在生成树集合中 */
			cout<<"("<<edges[i].begin<<","<<edges[i].end<<") "<<edges[i].weight<<endl;
		}
	}
}

对于如下所示的图：

运行程序，结果如下：