题目描述
对于任何正整数x，其约数的个数记作g(x)。例如g(1)=1、g(6)=4。
如果某个正整数x满足：g(x)>g(i) 0<i<x，则称x为反质数。例如，整数1，2，4，6等都是反质数。
现在给定一个数N，你能求出不超过N的最大的反质数么？
输入输出格式
输入格式：一个数N（1<=N<=2,000,000,000）。
输出格式：不超过N的最大的反质数。
输入输出样例
1000
840
Solution：
本题思路实在是巧妙～～！（膜拜比我小的巨佬——老$K$，他的思路让我受益匪浅！）
第一种思路（其实，准确说是第二种，是先搞懂了搜索的思路才自己琢磨的打表）：
首先我们讲下暴力打表，由于数据$nleq 2*10^9$，于是我们可以线下打表，直接暴力模拟，先根据题目可知$1,2,4,6$都是反质数，所以先输出这$4$个数，记当前最大约数个数$mx$为$4$（即$6$的约数个数），然后从$7$枚举到$2*10^9$，每次判断约数个数是否大于$mx$，大于就更新$mx$并输出该数。表搞完后，其实也没多少个，用数组存下来，然后二分答案找第一个比$n$小的就$OK$了（我打表的代码没有输出，也许机房配置太好了很神奇～～）。
贴一下我的暴力打表程序，显然直接打$1$到$2*10^9$的表肯定行不通，我们先打从$1$到$1000000$的来找规律：
#include<bits/stdc++.h> #define il inline #define ll long long #define For(i,a,b) for(ll (i)=(a);(i)<=(b);(i)++) #define Max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b)) using namespace std; ll p[200]={0,1,2,4,6},mx=4; il bool get(ll x){ ll ans=2; for(ll i=2;i*i<=x;i++){ if(x%i==0&&x/i!=i)ans+=2; else if(x%i==0&&x/i==i)ans++; } //cout<<ans<<endl; if(mx<ans){ mx=ans; return 1; } return 0; } int main(){ freopen("la.out","w",stdout); For(i,1,1000000)if(get(i)){printf("%lld,",i);} return 0; }
然后对打出来的数：
$1,2,4,6,12,24,36,48,60,120,180,240,360,720,840,1260,1680,2520,5040,7560,10080,15120,20160,25200,27720,45360,50400,55440,83160,83160,110880,166320,221760,277200,332640,498960,554400,665280,720720$
进行质因数分解：$$1=1$$
$$2=2^1$$
$$4=2^2$$
$$6=2^1*3^1$$
$$12=2^2*3^1$$
$$24=2^3*3^1$$
$$36=2^2*3^2$$
$$48=2^4*3^1$$
$$60=2^2*3^1*5^1$$
$$120=2^3*3^1*5^1$$
$$180=2^2*3^2*5^1$$
$$240=2^4*3^1*5^1$$
$$360=2^3*3^2*5^1$$
$$720=2^4*3^2*5^1$$
$$840=2^3*3^1*5^1*7^1$$
$$1260=2^2*3^2*5^1*7^1$$
$$1680=2^4*3^1*5^1*7^1$$
$$2520=2^3*3^2*5^1*7^1$$
$$5040=2^4*3^2*5^1*7^1$$
$$7560=2^3*3^3*5^1*7^1$$
$$10080=2^5*3^2*5^1*7^1$$
$$15120=2^4*3^3*5^1*7^1$$
$$20160=2^6*3^2*5^1*7^1$$
$$25200=2^4*3^2*5^2*7^1$$
$$27720=2^3*3^2*5^1*7^1*11^1$$
$$45360=2^4*3^4*5^1*7^1$$
$$50400=2^5*3^2*5^2*7^1$$
$$55440=2^4*3^2*5^1*7^1*11^1$$
$$83160=2^3*3^3*5^1*7^1*11^1$$
$$83160=2^3*3^3*5^1*7^1*11^1$$
$$110880=2^5*3^2*5^1*7^1*11^1$$
$$166320=2^4*3^3*5^1*7^1*11^1$$
$$221760=2^6*3^2*5^1*7^1*11^1$$
$$277200=2^4*3^2*5^2*7^1*11^1$$
$$332640=2^5*3^3*5^1*7^1*11^1$$
$$498960=2^4*3^4*5^1*7^1*11^1$$
$$554400=2^5*3^2*5^2*7^1*11^1$$
$$665280=2^6*3^3*5^1*7^1*11^1$$
$$720720=2^4*3^2*5^1*7^1*11^1*13^1$$
容易发现将质数从小到大排，指数会单调不上升（其实后面老$K$的思路用到了这个性质），那么根据这个东西我们可以线下贪心打表前$12$个质数的幂累乘的形式（幂单调不上升），就能处理出所有的$leq 2*10^9$的反质数。然后将打表出的数据用数组存下，查询时直接模拟就好了。（打表的代码和下面的搜索代码其实类似，我们可以依次枚举指数保证不上升，然后累乘出的数就是反质数，比较简单就不贴代码了）
贴一个最后的反质数表：
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int p[500]={1,2,4,6,12,24,36,48,60,120,180,240,360,720,840,1260,1680,2520,5040,7560,10080,15120,20160,25200,27720,45360,50400,55440,83160,110880,166320,221760,277200,332640,498960,554400,665280,720720,1081080,1441440,2162160,2882880,3603600,4324320,6486480,7207200,8648640,10810800,14414400,17297280,21621600,32432400,36756720,43243200,61261200,73513440,110270160,122522400,147026880,183783600,245044800,294053760,367567200,551350800,698377680,735134400,1102701600,1396755360,2001000000}; int main() { int n; cin>>n; int ans; for(int i=0;;i++) { if(p[i]>n) { cout<<p[i-1]<<endl; return 0; } } }
然后讲讲第二种炒鸡玩美的思路：
1、对于一个数$x$，我们根据唯一分解定理，可以将$x$分解为质数的幂相乘的形式：$x=prod{p_i^{k_i}}$，其中$p_i$为质数。
2、将数$x$唯一分解表示后，则$x$的约数个数$=prod{(k_i+1)}$（这个证明很简单，$x$的因子是$x$将唯一分解后的质数改变指数相乘得来，质数$p_i$的指数从$0$到$k_i$共$k_i+1$种情况，所以总的约数个数为$k_i+1$的累乘）。
3、我们不妨将$p_i$从小到大排列（即保证$p_i>p_{i-1}$），那么不难发现当$d<f$且$k_d<k_f$时一定不是反质数，证明很简单：
$ecause x=prod{p_i^{k_i}}$且$p_i$单调递增
又$ecause d<f,; k_d<k_f$，$x$的约数个数$sum_x=prod{(k_i+1)}$
$ herefore $一定可以构造一个数$y$，使得$sum_y=sum_x$，只需交换$p_d,p_f$的指数$k_d,k_f$即可
又$ecause p_i$单调递增
$ herefore sum_y<sum_x$，那么$g(x)=g(y)$，而$x>y$，显然$x$不可能为一个反质数。(举栗：$2*3^3<2^3*3$，而它们约数个数均为$8$个，显然$2*3^3$不可能是反质数)
由上面的证明我们得到一个反质数$q$唯一分解后将$p_i$递增排列，对应的指数$k_i$一定单调不上升。
因为前$12$个素数的乘积已经爆$2*10^9$，于是我们处理出前$12$个素数，然后$dfs$搜索枚举各质数的指数，判断$ans$即可。
（具体实现看代码，$ORZ——LK$，被低两个年级的人吊打，好虚啊～）
代码：
#include<bits/stdc++.h> #define il inline #define ll long long #define For(i,a,b) for(int (i)=(a);(i)<=(b);(i)++) using namespace std; const int prime[15]={0,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37}; ll n,ans,mx; il void dfs(int nu,int qnu,ll t,ll tot){ if(t>mx||t==mx&&tot<ans)ans=tot,mx=t; //当约数个数t大于当前最大约数个数或者约数个数相等且这个数小于当前答案时，更新答案和约数个数最大值 ll sum=tot,i=0,nt=0; while(i<qnu){ i++; //枚举约数个数 if(prime[nu]>n/sum)break; //可行性剪枝,注意直接prime[nu]*sum会爆long long nt=(i+1)*t,tot*=prime[nu]; //nt为新的约数个数，tot为新的数值 if(tot<=n)dfs(nu+1,i,nt,tot); //继续递归搜索 } } /*nu为当前的素数下标，qnu为指数，t为当前约数个数，tot为当前的值*/ int main(){ cin>>n; dfs(1,30,1,1); //2^30>=1e9 cout<<ans; return 0; }