题目描述
已知N个正整数：A1、A2、……、An 。今要将它们分成M组，使得各组数据的数值和最平均，即各组的均方差最小。均方差公式如下：
输入输出格式
输入格式：
输入文件data.in包括：
第一行是两个整数，表示N,M的值（N是整数个数，M是要分成的组数）
第二行有N个整数，表示A1、A2、……、An。整数的范围是1--50。
（同一行的整数间用空格分开）
输出格式：
输出文件data.out包括一行，这一行只包含一个数，表示最小均方差的值(保留小数点后两位数字)。
输入输出样例
说明
样例解释：1和6、2和5、3和4分别为一组
【数据规模】
对于40%的数据，保证有K<=N <= 10，2<=K<=6
对于全部的数据，保证有K<=N <= 20，2<=K<=6
Solution：
不多逼逼，直接退火。
我们首先对式子拆开得到：$sigma ^2 * m= sumlimits_{i=1}^{ileq m}{(x_i-overline{x})^2}=sumlimits_{i=1}^{ileq m}{x_i^2}-2overline{x}sumlimits_{i=1}^{ileq m}{x_i}+sumlimits_{i=1}^{ileq m}{overline{x}}$。
因为和不变，组数固定，所以可以确定的是$m$组的平均值$overline{x}$和总和$sumlimits_{i=1}^{ileq m}{x_i}$是定值，所以我们现在只要使得$sumlimits_{i=1}^{ileq m}{x_i^2}$尽可能的小。
然后我们引入基本不等式；$a^2+b^2geq 2ab$，证明显然，于是得到$a^2+b^2geq frac{(a+b)^2}{2}$。
推广到多元：$x_1^2+x_2^2+…+x_k^2geq frac{(x_1+x_2+…x_k)^2}{k}$，证明很简单，直接左右同乘$k$，再对右式拆开，移项就能得到多个二元基本不等式，合起来就好了。
考虑取等条件，$x_1=x_2=…=x_k$。
于是本题我们要使$sumlimits_{i=1}^{ileq m}{x_i^2}$尽可能小，就得使$x_i$尽可能相等。
那么直接模拟退火，随机出某个数的分组，贪心的将其加入到当前和最少的分组中，有一定概率的使用较差的解，调好常数，多随机一下就好了。
最后只需要输出$sqrt{frac{sum}{m}}$就$OK$了。
代码：
#include<bits/stdc++.h> #define il inline #define ll long long #define For(i,a,b) for(int (i)=(a);(i)<=(b);(i)++) #define Bor(i,a,b) for(int (i)=(b);(i)>=(a);(i)--) #define Max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b)) #define Min(a,b) ((a)>(b)?(b):(a)) #define sqr(a) ((a)*(a)) using namespace std; const int inf=1e9+7; const double eps=1e-15,r=0.99; int n,m,num[25],be[25]; double sum[25],ave=0,ans=1e15; il void SA(){ memset(sum,0,sizeof(sum)); double tmp=0,T=10005; For(i,1,n) be[i]=rand()%m+1,sum[be[i]]+=num[i]; For(i,1,m) tmp+=sqr(sum[i]-ave); while(T>eps){ int p=min_element(sum+1,sum+m+1)-sum; int pos=rand()%n+1; double pre=tmp; tmp-=sqr(sum[be[pos]]-ave)+sqr(sum[p]-ave); sum[be[pos]]-=num[pos],sum[p]+=num[pos]; tmp+=sqr(sum[be[pos]]-ave)+sqr(sum[p]-ave); if(tmp<pre||exp((tmp-pre)/T)*RAND_MAX<rand()) be[pos]=p; else tmp=pre,sum[be[pos]]+=num[pos],sum[p]-=num[pos]; T*=r; } if(tmp<ans)ans=tmp; } int main(){ srand(time(0)); cin>>n>>m; For(i,1,n) cin>>num[i],ave+=num[i]; ave/=m; For(i,1,1000) SA(); printf("%.2lf",sqrt(ans/m)); return 0; }