回溯法（四）——图的m着色问题

1 题目描述

  给定无向连通图G=(V, E)和m种不同的颜色，用这些颜色为图G的各顶点着色，每个顶点着一种颜色。是否有一种着色法使G中相邻的两个顶点有不同的颜色?

  这个问题是图的m可着色判定问题。若一个图最少需要m种颜色才能使图中每条边连接的两个顶点着不同颜色，则称这个数m为该图的色数。求一个图的色数m的问题称为图的m可着色优化问题。

  编程计算：给定图G=(V, E)和m种不同的颜色，找出所有不同的着色法和着色总数。

2 输入

  第一行是顶点的个数n（2≤n≤10），颜色数m（1≤m≤n）；
  接下来是顶点之间的相互关系：a b，表示a和b相邻。当a，b同时为0时表示输入结束。

3 输出

  输出所有的着色方案，表示某个顶点涂某种颜色号，每个数字的后面有一个空格。最后一行是着色方案总数。

4 样例输入

5 4
1 3
1 2
1 4
2 3
2 4
2 5
3 4
4 5
0 0

5 样例输出

1 2 3 4 1 
1 2 3 4 3 
1 2 4 3 1 
1 2 4 3 4 
1 3 2 4 1 
1 3 2 4 2 
1 3 4 2 1 
1 3 4 2 4 
1 4 2 3 1 
1 4 2 3 2 
1 4 3 2 1 
1 4 3 2 3 
2 1 3 4 2 
2 1 3 4 3 
2 1 4 3 2 
2 1 4 3 4 
2 3 1 4 1 
2 3 1 4 2 
2 3 4 1 2 
2 3 4 1 4 
2 4 1 3 1 
2 4 1 3 2 
2 4 3 1 2 
2 4 3 1 3 
3 1 2 4 2 
3 1 2 4 3 
3 1 4 2 3 
3 1 4 2 4 
3 2 1 4 1 
3 2 1 4 3 
3 2 4 1 3 
3 2 4 1 4 
3 4 1 2 1 
3 4 1 2 3 
3 4 2 1 2 
3 4 2 1 3 
4 1 2 3 2 
4 1 2 3 4 
4 1 3 2 3 
4 1 3 2 4 
4 2 1 3 1 
4 2 1 3 4 
4 2 3 1 3 
4 2 3 1 4 
4 3 1 2 1 
4 3 1 2 4 
4 3 2 1 2 
4 3 2 1 4 
Total=48

6 求解思路

  使用回溯法，具体步骤是将cur=1传入backtrack()，即从第一个开始涂色。

  涂的时候从颜色1开始到m，每当涂上一个色，要用ok(cur)判断第cur个点是否可以涂这个色，不可以的话就不再往下涂了，改试另一个颜色，可以的话就继续……执行完这个for循环就回溯。

  当cur>n的时候即前n个点都涂完了，然后输出结果并cou++计数。

7 C++版本代码如下

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>

using namespace std;

int n, m;
int a = 1, b = 1;
int cou = 0;
// 邻接矩阵
int graph[20][20];
// 着色表
int color[20];

// 判断是否可以着色
bool ok(int c)
{
    for(int k=1;k<=n;k++)
    {
        if(graph[c][k]&&color[c]==color[k])
        {
            return false;
        }
    }
    return true;
}

void backtrack(int cur)
{
    if(cur>n)
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            printf("%d ",color[i]);
        }
        cou++;
        printf("
");
    }
    else
    {
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            color[cur]=i;
            if(ok(cur))
            {
                backtrack(cur+1);
            }
            color[cur]=0;
        }
    }
}

int main()
{
    memset(graph, 0, sizeof(graph));
    memset(color, 0, sizeof(color));
    scanf("%d %d", &n, &m);
    while(scanf("%d %d", &a, &b) != EOF && a != 0 && b != 0)
    {
        graph[a][b] = 1;
        graph[b][a] = 1;
    }
    backtrack(1);
    printf("Total = %d", cou);
    return 0;
}