题解 lg3978 [TJOI2015]概率论 生成函数

题意

为了提高智商，ZJY 开始学习概率论。有一天，她想到了这样一个问题：对于一棵随机生成的 n 个结点的有根二叉树（所有互相不同构的形态等概率出现），它的叶子节点数的期望是多少呢？

data range: (nle 1e9)

思路

实际上我是找规律A的这道题

我们设 (f(x)) , (g(x)) 表示大小为 (x) 的所有不同构二叉树的个数和叶子节点个数和

先推 (f(x)) , (f(x)=sum_{i=0}^{n-1}f(i)f(n-i-1)) ,边界条件 (f(0)=1,f(1)=1)

然后会发现这个是卡特兰数，通项公式 (frac{{2n choose n}}{n+1})

再推(g(x)), 设 (G(x)) 为大小为 (x) 的二叉树的叶子节点个数的普通型生成函数，其中 (a_ix^i) 代表叶子节点为 (i) 的二叉树有 (a_i) 棵

在草稿纸上用 (G(x)) ，来推一下 (g(x)) ，再放到OEIS上搜，发现是中心二项式系数，也即 ({2n-2choose n-1})

多棒！

令(m=n-1)

则答案为 (frac{g(x)}{f(x)}=frac{(m+1)(m+2)}{2m+1})

但这样不够严谨，对吧

但是我也懒地写了

详细证法请见

较严谨 _rqy

用生成函数推的 Niko

后记

我还是推一下吧要不然对不起生成函数的标题

在推(g(x))的时候我们可以发现，实际上就是枚举左右两边的子树大小，子树的贡献是 子树的叶子节点数 乘上 另外一边的方案数。由于左右对称，要再乘2,也即 (g(x)=2sum_{i=0}^{x-1}g(i)f(n-i-1))

再设 (g) 和 (f) 的生成函数分别为 (G(x)) (F(x)) （注意，不要和上面那个我定义的(G(x)) 弄混）

易知 (F(x)) 的封闭形式为 (frac{1-sqrt{1-4x}}{2x})

根据 (g(x)) 的推导式我们可得 (G(x)=2xG(x)F(x)+x) , 所以 (G(x)=frac{x}{sqrt{1-4x}})

((xF(x))^{'}=frac{1}{sqrt{1-4x}}=frac{G(x)}{x})

对于第n项来说来说，也即((xf(n)x^n)'=(n+1)f(n)x^n=frac{g(n+1)x^{n+1}}{x}=g(n+1)x^{n})

所以(g(n)=nf(n-1)={2n-2choose n-1})

(frac{g(n)}{f(n)}=frac{n(n+1)}{2(2n+1)})