三维平面的法线是垂直于该平面的三维向量。曲面在某点P处的法线为垂直于该点切平面(tangent plane)的向量。
法线是与多边形(polygon)的曲面垂直的理论线,一个平面(plane)存在无限个法向量(normal vector)。在电脑图学(computer graphics)的领域里,法线决定著曲面与光源(light source)的浓淡处理(Flat Shading),对于每个点光源位置,其亮度取决于曲面法线的方向。
法线的计算[编辑]
对于像三角形这样的多边形来说,多边形两条相互不平行的边的叉积就是多边形的法线。
用方程{displaystyle ax+by+cz=d}表示的平面,向量{displaystyle (a,b,c)}
就是其法线。
如果S是曲线坐标x(s, t)表示的曲面,其中s及t是实数变量,那么用偏导数叉积表示的法线为
- {displaystyle {partial mathbf {x} over partial s} imes {partial mathbf {x} over partial t}}
。
如果曲面S用隐函数表示,点集合{displaystyle (x,y,z)}满足{displaystyle F(x,y,z)=0}
,那么在点{displaystyle (x,y,z)}
处的曲面法线用梯度表示为
- {displaystyle
abla F(x,y,z)}
。
如果曲面在某点没有切平面,那么在该点就没有法线。例如,圆锥的顶点以及底面的边线处都没有法线,但是圆锥的法线是几乎处处存在的。通常一个满足Lipschitz连续的曲面可以认为法线几乎处处存在。
法线的唯一性[编辑]
曲面法线的法向不具有唯一性(uniqueness),在相反方向的法线也是曲面法线。曲面在三维的边界(topological boundary)内可以分区出inward-pointing normal 与 outer-pointing normal, 有助于定义出法线唯一方法(unique way)。定向曲面的法线通常按照右手定则来确定。
法线的变换[编辑]
变换矩阵可以用来变换多边形,也可以变换多边形表面的切向量(tangent vector)。 设 n′ 为 W n。我们必须发现 W。
W n 垂直(perpendicular)于 M t
- {displaystyle iff (Wn)cdot (Mt)=0}
- {displaystyle iff (Wn)^{T}(Mt)=0}
- {displaystyle iff (n^{T}W^{T})(Mt)=0}
- {displaystyle iff n^{T}(W^{T}M)t=0}
很明白的选定 W s.t. {displaystyle W^{T}M=I}, 或 {displaystyle W={M^{-1}}^{T}}
将可以满足上列的方程式,按需求,再以 {displaystyle Wn}
垂直于(perpendicular){displaystyle Mt}
, 或一个 n′ 垂直于 t′。