指数输入时微分方程特解的求法

信号与系统中，会经常求解二阶常系数微分方程

[y'' + Ay' + By = f(s)]

其中(A,B)为实数。

引进微分算子，上述微分方程可表示为(({D^2} + AD + B)y = P(D)y = f(x))。为了求该微分方程的通解(y)，需要求出对应齐次方程的通解({y_c})和非齐次方程的一个特解({y_p})（在这里，“特解”一点都不特，其实是任何一个解都可以，当然，也可以理解为每个解都是特别的！），最后得到非齐次方程的通解(y = {y_c} + {y_p})。为了求得对应齐次微分方程通解({y_c})，需要寻找两个线性无关的解({y_{{lambda _1}}})和({y_{{lambda _2}}})，则({y_c} = {c_1}{y_{{lambda _1}}} + {c_2}{y_{{lambda _2}}})，如果对应的特征方程({lambda ^2} + Alambda + B = 0)：

1. 有两个不等实根({lambda _1})和({lambda _2})，则({y_{{lambda _i}}} = {e^{{lambda _i}x}}(i = 1,2))即为两个线性无关的解，此时，({y_c} = {c_1}{e^{{lambda _1}x}} + {c_2}{e^{{lambda _2}x}})即为对应齐次微分方程的通解
2. 有相等实根(lambda = {lambda _1} = {lambda _2})，对应的齐次微分方程的通解可写为({y_c} = {c_1}{e^{lambda x}} + {c_2}x{e^{lambda x}})
3. 有共轭复根({lambda _{1,2}} = alpha pm jeta )，对应的齐次微分方程的通解可写为({y_c} = {e^{alpha x}}left[ {{c_1}cos left( {eta x} ight) + {c_2}sin left( {eta x} ight)} ight])

由于复指数信号(f(x) = {e^{alpha x}},(alpha in C))可以表示一大类常用信号，因此，本文只讨论当输入（激励信号为(f(x) = {e^{alpha x}},(alpha in C))时，微分方程特解({y_p})的求法。

指数输入定理：

其中(P(D))是微分方程算子多项式表示，若(alpha )不是({lambda ^2} + Alambda + B = 0)的根，则(n = 0)，若为单根，则(n = 1)，若为二重根，则(n = 2)。