P2657 [SCOI2009] windy 数

题目描述

luogu
不含前导零且相邻两个数字之差至少为 2 的正整数被称为 windy 数。windy 想知道，在 \(a\) 和 \(b\) 之间，包括 \(a\) 和 \(b\) ，总共有多少个 windy 数？

数据范围： \(1\leq a\leq b\leq 2×10^9\)。

solution

一道很经典的数位dp题。

首先，我们可以预处理出 \(1-a\) 以及 \(1-b\) 之间的windy数，之后两者的差，就是答案。

设： \(f[i][j]\) 表示长度为 \(i\) 且最高位为 \(j\) 的 windy 数的个数。

这个可以先预处理出来。

void YYCH()
{
	for(int i = 0; i <= 9; i++) f[1][i] = 1;//初始化，当只有一位时，所有的数都是windy数
	for(int i = 2; i <= 10; i++)//枚举位数
	{
		for(int j = 0; j <= 9; j++)//枚举最高位的数字
		{
		    for(int k = 0; k <= 9; k++)//枚举次高位上的数字
		    {
		    	if(abs(j-k) >= 2)
		    	{
		    		f[i][j] += f[i-1][k];//f[i][j]表示i位数且最高位为j的情况
		    	}
		    }
		}
	}
}

之后求 \(1-a\) 之间的 \(windy\) 数的个数时，根据 \(a\) 的每一位大小，分类讨论一下即可。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define LL long long
LL a,b;
LL f[15][10], shuwei[15];
inline LL read()
{
	int s = 0, w = 1; char ch = getchar();
	while(ch < '0' || ch > '9'){if(ch == '-') w = -1; ch = getchar();}
	while(ch >= '0' && ch <= '9'){s = s * 10+ch -'0'; ch = getchar();}
	return s * w; 
}
void YYCH()//预处理
{
	for(int i = 0; i <= 9; i++) f[1][i] = 1;
	for(int i = 2; i <= 10; i++)
	{
		for(int j = 0; j <= 9; j++)
		{
			for(int k = 0; k <= 9; k++)
		    {
		    	if(abs(j-k) >= 2)
		    	{
		    		f[i][j] += f[i-1][k];
		    	}
		    }
		}
	}
}
LL calc(LL a)//统计答案
{
	LL ans = 0, len = 0, x = a;
	while(x)//把a的每一位都提取出来
	{
		len++;
		shuwei[len] = x % 10;
		x /= 10;
	}
	for(int i = 1; i < len; i++)//先加上不满len位的数
	{
		for(int j = 1; j <= 9; j++)
		{
			ans += f[i][j];
		}
	}
	for(int i = 1; i < shuwei[len]; i++) ans += f[len][i];//加上最高位比a要小的数
	for(int i = len-1; i >= 1; i--)//枚举下一位
	{
		for(int j = 0; j < shuwei[i]; j++)//枚举下一位上的数字
		{
			if(abs(shuwei[i+1]-j) >= 2) ans += f[i][j];
		}
		if(abs(shuwei[i+1]-shuwei[i]) < 2) break;//如果当前已经不满足windy数的性质，那么接下来的的数位，无论填什么都不会是windy数
	}
	return ans;
}
int main()
{
	YYCH();
	a = read(); b = read();
	printf("%lld\n",calc(b+1)-calc(a));
}