小球盒子问题总结
1.球相同 盒子相同 允许空
设(f[n][m])为(n)个球，(m)个盒子，允许空的方案数
转移时考虑最后一个盒
[f[n][m]=f[n-m][m]+f[n-1][m-1] (ngeq m)
]
[f[n][m]=f[n][n](nleq m)
]
边界(f[*][1]=f[0][*]=1)
2.球相同 盒子相同 不允许空
答案即为(1.)中(f[n-m][m])
3.球相同 盒子不同 不允许空
喜神的挡板法 ，考虑在(n)个小球中插入(m-1)个板的方案数，即为
[inom{n-1}{m-1}
]
4.球相同 盒子不同 允许空
在(3.)的前提下，先多插入(m)个球，即为
[inom{n+m-1}{m-1}
]
5.球不同 盒子相同 不允许空
方案即为第二列斯特林数，考虑最后一个球可以放入(m)个盒子内，则有
[S_2[n][m]=S_2[n-1][m-1]+m imes S_2[n-1][m]
]
6.球不同 盒子相同 允许空
可以放入(i (ileq m))个盒子，方案即为第二类斯特林数的前缀和
[sum_{i=1}^mS_2[n][i]
]
也叫贝尔数，这也就是(n)个数的集合划分方案数
7.球不同 盒子不同 不允许空
(S_2[n][m])考虑的是盒子相同的情况，每个情况中盒子种类的排列有(m!)种，所以
[m! imes S_2[n][m]
]
8.球不同 盒子不同 允许空
每个球都有(m)个盒子可以放，球之间互相独立，所以
[m^n
]