【2018沈阳现场赛k】Let the Flames Begin

题意

有n个人围成一圈，编号1到n，从1号开始报数，每报到第k个，此人出列，下一个人再从1开始报数，求第m个出列的人的编号(n,m,k ≤ 1e18, m,k其中一个小于1e6)

分析

我们知道，约瑟夫环的出队是有O(n)的递推算法的：f(n) = (f(n-1)+k-1)%n 约瑟夫环数学推导

但是这里是最后一个出列的人的情况（n个人第n个出列）

考虑一下n个人第m个出列，设状态为f(n,m),我们可以假设在m个人中再插上n-m个人，他们都比前m个人晚出队（具体放在哪里不用关心，只要认为他们一定不会先出队就行了），那么递推式就和刚刚的雷同 f(n,m) = (f(n-1,m-1)+k-1)%n,这个式子可以在o(m)的时间内求出答案，适用于m≤1e6的情况

那么当m在1e18的范围内，该怎么办呢？

观察当前递推式，每次都是+k，当超过n的范围时，进行取模运算，可以发现，当k<<n时，在很多次递推操作中都是不需要取模的，而是只有+k操作，那么我们其实可以吧加法转化成乘法来加速

令add = n-m，考虑当前为f(x+add,x)执行t次后需要取模：

f(x+add+t,x+t) = (f(x+add,x) + (t*k)-1)%(x+add+t)+1

为什么这里的模数在一直变化，还可以这么干呢？因为模数每次只增加1,而f每次增加k,所以当k>1的时候，一定会越来越接近模数，直到超过它，当k=1的时候特判就好

计算t值：

一下简写f(x+add,x)为f

f + (t*k)-1 ≥ x+add+t

解得 t ≥ (x+add-f+1) / (k-1)

从这里也可以看出k=1是需要特判的

解出最小t，更新状态 x = x + t

这个复杂度我也不会算了，但感觉不会太大

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll n,m,k;
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    int _,ca=0;cin>>_;
    while(_--) {
        cin>>n>>m>>k; 
        ll ans = (k-1)%(n-m+1)+1;
        if(k==1) ans = m;
        else if(k >= m) {
            for(ll i=2;i<=m;i++) 
                ans = (ans + k -1)%(i+n-m)+1;
        }
        else {
            ll now = 1;ll a = n-m;
            while(now < m) {
                ll d = (ll)ceil((now + a - ans)*1.0/(k-1));
                if(d == 0) d++;
                if(now+d >= m) {   d = m-now;}
                now +=d;ll mod = (now+a);
                ans = (ans + k*d%mod-1+mod)%mod+1;
            }
        }
        cout<<"Case #"<<++ca<<": "<<ans<<endl;
    }
}