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  • LOJ#3160. 「NOI2019」斗主地 打表+拉格朗日插值

    裸做的话设一个 $p[i][j]$ 表示两个堆分别抽走 $i,j$ 个的概率.   

    转移的话就枚举当前是第几个,然后再枚举左/右面由下向上第几个贡献.      

    不在模意义下做,开 double 打表发现无论怎样洗牌,一次函数还是一次函数,二次函数还是二次函数.   

    那么我们只需暴力维护出牌的前 3 项,然后后面的项用拉格朗日插值求出即可.  

    code: 

    #include <cstdio> 
    #include <cstring>
    #include <algorithm>    
    #define N 500009  
    #define ll long long  
    #define mod 998244353
    #define setIO(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)  
    using namespace std;    
    int qpow(int x,int y) {    
    	int tmp=1; 
    	for(;y;y>>=1,x=(ll)x*x%mod) { 	
    		if(y&1) tmp=(ll)tmp*x%mod;  
    	} 
    	return tmp;   
    } 
    int get_inv(int x) { 
    	return qpow(x,mod-2); 
    }
    namespace Lagrange {  
    	int x[5],y[5],dn[5];  
    	void init() {     	
    		for(int i=1;i<=3;++i) {  	  	
    			dn[i]=1;  
    			for(int j=1;j<=3;++j) { 
    				if(i==j) continue;  
    				dn[i]=(ll)(x[i]-x[j]+mod)%mod*dn[i]%mod;   
    			}   
    			dn[i]=get_inv(dn[i]);  
    		}
    	}
    	int solve(int v) {  	
    		int an=0; 
    		for(int i=1;i<=3;++i) {   
    			int up=1;  
    			for(int j=1;j<=3;++j) { 	
    				if(i==j) continue;  
    				up=(ll)(v-x[j]+mod)%mod*up%mod;        
    			}       
    			(an+=(ll)y[i]*up%mod*dn[i]%mod)%=mod;  
    		}  
    		return an;  
    	} 
    }; 
    int n,m,ty;  
    int a[N],tmp[10000009],A[N],p[4][4],inv[10000008];        
    void init() { 
    	inv[1]=1; 
    	for(int i=2;i<10000008;++i) { 
    		inv[i]=(ll)(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod; 
    	}  
    	inv[0]=1;  
    }
    void calc(int tmp) {  
    	memset(p,0,sizeof(p));      
    	p[0][0]=1;    	
    	int na=tmp,nb=n-tmp;         
    	for(int i=0;i<=min(3,na);++i) {               
    		for(int j=0;j<=min(3,nb);++j) {             
    			if(!i&&!j) continue;     
    			int tot=na-i+1+nb-j;        
    			if(i) { 	          
    				(p[i][j]+=(ll)p[i-1][j]*(na-i+1)%mod*inv[tot]%mod)%=mod;  
    			}  
    			if(j) { 
    				(p[i][j]+=(ll)p[i][j-1]*(nb-j+1)%mod*inv[tot]%mod)%=mod;  
    			}
    		}
    	}
    }                    
    int main() {  
    	// setIO("landlords");                           
    	scanf("%d%d%d",&n,&m,&ty);                                   
    	for(int i=n-2;i<=n;++i) { 
    		Lagrange::x[n-i+1]=i; 
    		Lagrange::y[n-i+1]=(ty==1?i:(ll)i*i%mod);  
    	}
    	Lagrange::init();  
     	init();  
    	for(int i=1;i<=m;++i) { 
    		scanf("%d",&A[i]); 
    	}               
    	for(int i=1;i<=m;++i) { 
    		calc(A[i]);
    		for(int j=1;j<=3;++j) {  
    			int cur=n-j+1,na=A[i],nb=n-A[i];     
    			tmp[cur]=0;       
    			for(int k=1;k<=min(na,j);++k) {                    
    				if(j-k<=nb) 
    					(tmp[cur]+=(ll)p[k-1][j-k]*(na-k+1)%mod*inv[n-j+1]%mod*Lagrange::solve(na-k+1)%mod)%=mod; 
    			}
    			for(int k=1;k<=min(nb,j);++k) { 	
    				if(j-k<=na)              
    					(tmp[cur]+=(ll)p[j-k][k-1]*(nb-k+1)%mod*inv[n-j+1]%mod*Lagrange::solve(n-k+1)%mod)%=mod;        
    			}
    		}
    		for(int j=1;j<=3;++j) { 
    			Lagrange::x[j]=n-j+1;   
    			Lagrange::y[j]=tmp[n-j+1];       
    		}
    	}            
    	int Q,x,y,z; 
    	scanf("%d",&Q);  
    	for(int i=1;i<=Q;++i) { 
    		scanf("%d",&x); 
    		printf("%d
    ",Lagrange::solve(x));    
    	}    
    	return 0; 
    } 
    

      

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