BZOJ 1492 [NOI2007]货币兑换Cash (CDQ分治/splay 维护凸包)

题目大意：太长了略

splay调了两天一直WA弃疗了

首先，我们可以猜一个贪心，如果买/卖，就一定都买/卖掉，否则不买/卖

反正货币的行情都是已知的，没有任何风险，所以肯定要选择最最最优的方案了

容易得到方程

$dp[i]=max(dp[i-1],a[i]*frac{dp[j]*rate[j]}{rate[j]*a[j]+b[j]}+b[i]*frac{dp[j]}{rate[j]*a[j]+b[j]})$

显然是要用凸优化了

splay非常无脑，splay维护此题的凸包，需要找前驱，删前驱，找后继，删后继，一大堆特判...绝对恶心到吐

所以这是一篇$CDQ$分治题解

令$x=frac{dp[j]}{rate[j]*a[j]+b[j]},y=x*rate[j]$

移项，可得

$dp[i]-b[i]*x=a[i]*y$

$y=frac{dp[i]}{a[i]}-frac{b[i]}{a[i]}x$

发现斜率$k=-frac{b[i]}{a[i]}$是一定的，我们在外层把斜率k从小到大排序，可以优化掉一个$log$，递归时按$x$从小到大排序

这样，递归时，每一层内部都是按$k$有序的，把这一层按照时间分为左右两个部分(不要破坏$k$的有序状态)

先递归处理左半个区间，回溯后，左半部分的答案已知，且不会被右半部分的答案所影响

且左半部分按$x$从小到大排序，右半部分按斜率$k$从小到大排序，取最小值，由于$k<0$，用单调栈维护一个上凸包即可

处理完了左边对右边的贡献，递归处理右半部分

回溯时，先处理$dp[i]=dp[i-1]$的情况，再按$x$排序，回溯到上一层

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N1 101000
#define M1 205
#define ll long long
#define dd double  
#define uint unsigned int
#define inf 233333333
#define il inline 
using namespace std;

const dd eps=(1e-9);
int n,m;
int stk[N1];
dd A[N1],B[N1],r[N1],X[N1],Y[N1],K[N1],f[N1];
//struct node{dd x,y,k,ans;int id;};
int cmp1(int s1,int s2){return K[s1]-K[s2]<0;}
int id[N1],tmp[N1];
dd get_slope(int s1,int s2){
    if(!s2) return inf;
    return (Y[s1]-Y[s2])/(X[s1]-X[s2]);
}
void CDQ(int L,int R)
{
    if(R-L<=1) return;
    int M=(L+R)>>1;
    int tp=0,i,j,pl=L,pr=M,k,cnt;
    for(int i=L;i<R;i++)
        if(id[i]<M) tmp[pl++]=id[i];
        else tmp[pr++]=id[i];
    for(int i=L;i<R;i++)
        id[i]=tmp[i];
    CDQ(L,M);
    for(i=L;i<M;i++)
    {
        k=id[i];
        if(tp>1&&fabs(X[stk[tp]]-X[k])<eps&&Y[k]-Y[stk[tp]]<eps) continue;
        while(tp>1&&get_slope(stk[tp],stk[tp-1])<=get_slope(k,stk[tp-1]))
            tp--;
        stk[++tp]=k;
    }
    for(i=M;i<R;i++)
        f[i]=max(f[i-1],f[i]);
    for(i=M;i<R;i++)
    {
        while(tp>1&&get_slope(stk[tp],stk[tp-1])<=K[id[i]])
            tp--;
        k=id[i],j=stk[tp];
        f[k]=max(f[k],A[k]*Y[j]+B[k]*X[j]);
        X[k]=f[k]/(A[k]*r[k]+B[k]);
        Y[k]=r[k]*X[k];
    }
    CDQ(M,R);
    i=L,cnt=L,j=M;
    while(i<M&&j<R){
        if(X[id[i]]<X[id[j]])
            tmp[cnt++]=id[i],i++;
        else 
            tmp[cnt++]=id[j],j++;
    }
    while(i<M) tmp[cnt++]=id[i],i++;
    while(j<R) tmp[cnt++]=id[j],j++;
    for(i=L;i<R;i++)
        id[i]=tmp[i],f[id[i]]=max(f[id[i]],f[id[i]-1]);
};
dd S;
int main()
{
    //freopen("t1.in","r",stdin);
    scanf("%d%lf",&n,&S);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%lf%lf%lf",&A[i],&B[i],&r[i]);
        K[i]=-B[i]/A[i];id[i]=i;
    }
    f[1]=S,X[1]=S/(A[1]*r[1]+B[1]),Y[1]=X[1]*r[1];
    sort(id+1,id+n+1,cmp1);
    CDQ(1,n+1);
    dd ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        ans=max(ans,f[i]);
    printf("%.3lf
",ans);
    return 0;
}