CF51F Caterpillar (边双+树形DP)

题目传送门

题目大意：给你一张n个点m条边的图。每次操作可以把两个点合并成一个(与之相连的边也都要连到新点上)。求把图中每个联通块都变成“毛毛虫”的最小操作次数。“毛毛虫”必须是一棵树(可以存在自环)，且其中必须存在一条主链，使得主链外的点到主链上的任意一点距离为1。$nleq 2000,mleq 10^{5}$

树上乱搞题目×1

首先把原图用边双$tarjan$缩成一棵树

然后我们想办法找出这条主链，似乎也只能$DP$了

定义$f(x,0/1)$表示 主链一端在$x$子树内另一端在$x$点/主链两个端点都在$x$子树内 付出的最小代价

对于不在主链上的点，需要把整颗子树合并成一个点，画一画图发现这个数量就是这个子树内的叶节点数量！

$f(x,0)=min{f(v,0)+合并其他子树的花费}$

$f(x,1)=min(f(v_{0},0)+f(v_{1},0)+合并其他子树的花费)$

合并其他子树的花费很好推，但式子太长就不放了

这也意味着我们$DP$时需要挑一个非叶节点为根进行$DP$

题目并没有保证所有点都在一个联通块内..每个联通块都要统计一遍，好麻烦..

时间可以被菊花图卡成$O(n^{2})$，但仍能轻松通过全部数据

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N1 2010
#define M1 100050
using namespace std;
const int inf=0x3f3f3f3f;

template <typename _T> void read(_T &ret)
{
    ret=0; _T fh=1; char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){ if(c=='-') fh=-1; c=getchar(); }
    while(c>='0'&&c<='9'){ ret=ret*10+c-'0'; c=getchar(); }
    ret=ret*fh;
}

struct Edge{
int to[M1*2],nxt[M1*2],val[M1*2],head[N1],cte;
void ae(int u,int v,int w)
{ cte++; to[cte]=v; nxt[cte]=head[u]; val[cte]=w; head[u]=cte; }
}e,g;

int n,m,num;
int dfn[N1],low[N1],use[N1],stk[N1],dad[N1],tp,tim,que[N1],tl;
int f[N1][2],sum[N1],sz[N1],inc[N1],vis[N1];
void init()
{
    memset(f,0,(num+1)*8);   memset(sz,0,(num+1)*4);  memset(sum,0,(num+1)*4); 
    memset(vis,0,(num+1)*4); memset(inc,0,(num+1)*4); memset(g.head,0,(num+1)*4); 
    tl=tp=tim=num=0; g.cte=0;
}

void tarjan(int x,int fa)
{
    int j,v; que[++tl]=x;
    dfn[x]=low[x]=++tim; use[x]=1; stk[++tp]=x;
    for(j=e.head[x];j;j=e.nxt[j])
    {
        if(e.val[j]==fa) continue;
        v=e.to[j];
        if(!dfn[v]){
            tarjan(v,e.val[j]);
            low[x]=min(low[x],low[v]);
        }else if(use[v]){
            low[x]=min(low[x],dfn[v]);
        }
    }
    if(low[x]==dfn[x])
    {
        num++;
        while(stk[tp]!=x)
            use[stk[tp]]=0, dad[stk[tp]]=num, tp--;
        use[stk[tp]]=0, dad[stk[tp]]=num, tp--;
    }
}

void dfs(int x,int fa)
{
    int j,v; sz[x]=1; vis[x]=1;
    for(j=g.head[x];j;j=g.nxt[j])
    {
        v=g.to[j]; if(v==fa) continue;
        dfs(v,x); 
        sz[x]+=sz[v]; sum[x]+=sum[v];
    }
    int k,v0,v1; 
    if(inc[x]>1) f[x][0]=f[x][1]=inf; else sum[x]=1;
    for(j=g.head[x];j;j=g.nxt[j])
    {
        v0=g.to[j]; if(v0==fa) continue; 
        f[x][0]=min(f[x][0],f[v0][0]+(sz[x]-1-sz[v0])-(sum[x]-sum[v0])); 
        for(k=g.nxt[j];k;k=g.nxt[k])
        {
            v1=g.to[k]; if(v1==fa) continue; 
            f[x][1]=min(f[x][1],f[v0][0]+f[v1][0]+(sz[x]-sz[v0]-sz[v1]-1)-(sum[x]-sum[v0]-sum[v1])); 
        }
    }
}
int de;

int solve(int x)
{
    int i,j,ans=0,root; init(); 
    tarjan(x,0);
    if(num<=2){ return tl-num; }
    for(i=1;i<=tl;i++) 
    {
        x=que[i];
        for(j=e.head[x];j;j=e.nxt[j]) if(dad[x]!=dad[e.to[j]]) 
            g.ae(dad[x],dad[e.to[j]],0), inc[dad[e.to[j]]]++;
    }
    for(i=1;i<=num;i++) if(inc[i]>1){ root=i; dfs(root,0); break; }
    for(i=1,ans=inf;i<=num;i++) if(inc[i]>1)
        if(i!=root) ans=min(ans,f[i][1]+(num-sz[i])-(sum[root]-sum[i]));
        else ans=min(ans,f[i][1]);
    return ans+tl-num;
}

int main()
{
    int i,j,x,y,ans=-1;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(i=1;i<=m;i++) read(x), read(y), e.ae(x,y,i), e.ae(y,x,i);
    for(i=1;i<=n;i++) if(!dfn[i]) ans+=solve(i)+1;
    printf("%d
",ans);
    return 0;
}