笔者经多番周折终于看懂了( ext{Burnside})定理和( ext{Polya})定理，特来写一篇学习笔记来记录一下。
群定义
定义：群((G,·))是一个集合与一个运算·所定义的群。它所需要满足的性质是：
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结合律：对于任意(a,b,cin G,a·b·c=a·(b·c).)
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封闭性：对于任意(a,bin G,a·bin G.)
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单位元：存在(ein G,a·e=a.)
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逆元：(forall ain G,exists a'in G,a·a'=a'·a=e.)
举一个例子：对于正方形旋转组成的群（旋转度数分别为(0,90,180,270)），旋转操作就是群中的元素，单位元就是旋转度数为(0)的操作。结合律显然满足，我们看剩下两个条件：
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封闭性：先旋转(90')再旋转(270')就相当于旋转(360')即旋转(0'in G.)容易证明对于每一种操作都存在这种封闭性。
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逆元：对于旋转(90')的操作我们可以再旋转(270')将它转换为单位元(0'.)对其它所有元素均存在逆元。
所以这个由旋转操作构成的集合（操作是连续旋转）可以被证明是一个群。
子群：即一个群(Hin G.)
注意，群中的元素不一定满足交换律，所以才有了左陪集和右陪集的区别：
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左陪集 对于一个子群(Hin G,)一个元素(gin G,gH)称之为(H)的一个左陪集。(gH=forall hin H,g·h.)
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右陪集 对于一个子群(Hin G,)一个元素(gin G,Hg)称之为(H)的一个右陪集。(Hg=forall hin H,h·g.)
陪集的一些性质（只讨论右陪集，左陪集同理）
证明：
(forall h_1in H,h_2in H,h_1·g ot =h_2·g)故得证。
证明：
由于(H)是群，所以包含单位元使得(gin H.)
证明：
群(H)具有封闭性。
证明：
(Ha=Hb o Ha·b^{-1}=H o a·b^{-1}in H)
(a·b^{-1}in H o Ha·b^{-1}=H o Ha=Hb)
证明：
这条性质意味着(H)的陪集要么不相交要么相等。
设(cin Ha,cin Hb o exists h_1,h_2in H,h_1·a=h_2·b=c o a·b^{-1}=h_2·h_1^{-1}in H o Ha=Hb.)
群作用
我们说一个群(G)作用于集合(X)，当且仅当：
给定一个函数(varphi(v,x))（其中，(vin G,xin X)）有：
有上述函数时才有群(G)作用于(X.)
置换
用双行表示法来表示一个置换：
表示一个由序列(1,2,3,4,5)变为(2,1,3,4,5)的一个置换。大体就是用第一个元素代替第二个元素...以此类推。
一个长度为(n)的不同置换数为(n!.)
关于运算：( ho(a)=(a_{ ho_1},a_{ ho_2}...))
可以证明，这些置换组成了群。
轨道-稳定子定理
定义：
轨道(G(x))是(x)通过(G)中所有元素作用可以达到的所有元素的集合。(gin G,g(x))是(x)通过(g)这个元素作用可以达到的所有元素。
稳定子(G^x=left { g|gin G,g(x)=x ight }) 即群(G)中所有 (g(x)=x) 的 (g) 的集合。
定理：(|G^x|*|G(x)|=|G|)
可以得到，每一个状态(x)一定只属于一个轨道。我们把(g(x)=x)的点看做一个轨道的结尾，这个定理就很好证明了。
Burnside 引理
定义(G)是一个置换群且作用于集合(X,)若(exists x,yin X,exists fin G,f(x)=y,)则(x,y)属于一个等价类。
注意！这里(f(x))不是一个函数，而是元素(x)在(f)作用下得到的元素。
则不同等价类的数量为：
(X^g=|G^x|.)
文字描述：(X) 在群 (G) 作用下的等价类总数等于每一个 (g) 作用于 (X) 的不动点的算数平均值。
证明待补。
关于这道题：群中元素就是(left { TurnZeroPlace,TurnOnePlace,TurnTwoPlace...Turn(N-1)Place ight },X)是所有置换所形成的环。
对于旋转(k)个而言，其不动点等价于存在一个长度为(a)的循环节使得(a|k.)又因为必然(a|n)（转(n)格必然回到原始状态），所以改写判断条件为存在一个长度为(gcd(k,n))的循环节。而前(gcd(k,n))个元素可以任意填（染色，不是排列），所以答案就是(frac{1}{n}sum_{k=1}^n n^{gcd(k,n)})
枚举(gcd)莫比乌斯反演得到(Ans=sum_{d|n} n^{d-1}varphi(n/d))可以(O(sqrt{n}))计算。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
inline int add(int x,int y){return (x+y)%mod;}
inline int mul(int x,int y){return 1ll*x*y%mod;}
inline int qpow(int a,int b){
int res=1;
while(b){
if(b&1)res=mul(res,a);
a=mul(a,a);b>>=1;
}
return res;
}
int calc(int x){
int ans=x;
for(int i=2;i*i<=x;++i){
if(x%i)continue;
ans-=ans/i;
while(x%i==0)x/=i;
}
if(x!=1)ans-=ans/x;
return ans;
}
int T,n;
int main(){
scanf("%d",&T);
while(T--){
scanf("%d",&n);
int ans=0;
for(int i=1;i*i<=n;++i){
if(n%i)continue;
ans=add(ans,mul(qpow(n,i-1),calc(n/i)));
if(i*i==n)continue;
ans=add(ans,mul(qpow(n,n/i-1),calc(i)));
}
printf("%d
",ans);
}
return 0;
}