求幂运算、多项式乘法及Horner法则的应用

一，两种不同的求幂运算

求解x^n（x 的 n 次方）

①使用递归，代码如下：

    private static long pow(int x, int n){
        if(n == 0)
            return 1;
        if(n == 1)
            return x;
        if(n % 2 == 0)
            return pow(x * x, n / 2);
        else
            return pow(x * x, n / 2) * x;
    }

分析：

每次递归，使得问题的规模减半。2到6行操作的复杂度为O(1)，第7行pow函数里面的x*x操作复杂度为O(1)

故时间复杂度公式：T(N)=T(N/2)+O(1)   =>   T(N)=O(logN)

②普通方式求幂

    private static long pow2(int x, int n){
        if(x == 0)
            return 0;//0^n == 0
        long p = 1;
        for(int i = 0; i < n; i++)
            p *= x;
        return p;
    }

显然，时间复杂度为O(N)

二，求解多项式乘法

公式：f(x,n) = a(0)x^0 + a(1)x^1 + a(2)x^2+...+a(n)x^n

比如：f(10,4)=a(0)10^0 + a(1)10^1 + a(2)10^2 + a(3)10^3+a(4)10^4

代码如下：

    public static long poly(int[] arr, int x, int n){
        long sum = 0;
        for(int i = 0; i <= n; i++){
            sum += arr[i] * pow(x, i);
        }
        return sum;
    }

    private static long pow(int x, int n){
        if(n == 0)
            return 1;
        if(n == 1)
            return x;
        if(n % 2 == 0)
            return pow(x * x, n / 2);
        else
            return pow(x * x, n / 2) * x;
    }

Horner法则求解多项式乘法，参考：

    public static long poly2(int[] arr, int x, int n){//arr存储系数, x 表示基数, n 表示幂
        long poly = 0;
        for(int i = n; i >= 0; i--)
            poly = poly * x + arr[i];
        return poly;
    }

对比采用Horner法则计算多项式乘法与这篇文章： 字符串转换成数字

public int atoi(char[] s){
        int result = 0;
        for(int i = 0; i < s.length; i++)
            result = result * 10 + s[i] - '0';// 相当于 poly2(...)中的 x=10
        return result;
    }

可以看出，二者有很大的相似性。其实，不难看出，字符串转换成数字使用的正是Horner法则。

由此，得到启发，在进制转换中，如：八进制转十进制，相当于 x = 8。

故可写出一个常用的进制转换程序，如下：

    //x 表示进制, 若x=8,表示将8进制转换成10进制
    public static long convert(char[] arr, int x){
        long result = 0;
        for(int i = 0; i < arr.length; i++)
            result = result * x + arr[i] - '0';
        return result;
    }
    
    //str 表示原来进制的数,如：convert("456", 8) 456 --> 302
    public static long convert2(String str, int x){
        long result = 0;
        for(int i = 0; i < str.length(); i++)
            result = result * x + Integer.valueOf(str.charAt(i) - '0');
        return result;
    }

十六进制转十进制，相当于 x = 16。

    public static long convert2(String str, int x){//x = 16
        long result = 0;
        char c;
        str = str.toUpperCase();//"abF8"-->"ABF8"
        for(int i = 0; i < str.length(); i++)
        {
            c = str.charAt(i);
            if(c >= 'A' && c <= 'F')
                result = result * x + (c - 'A') + 10;
            else
                result = result * x + c - '0';
        }
        return result;
    }

因此，进制转换、字符串转换成数字、多项式求值都可以使用Horner法则来求解。