面试题45：圆圈中最后剩下的数字

题目：0,1，...，n-1这n个数字排成一个圆圈，从数字0开始每次从这个圆圈里删除第m个数字。求出这个圆圈里剩下的最后一个数字。

例如，0、1、2、3、4这5个数字组成一个圆圈，从数字0开始每次删除第3个数字，则删除的前四个数字一次是2、0、4、1，最后剩下的数字为3.

　　本题是有名的约瑟夫环问题。

解法一：经典的解法，用环形链表模拟圆圈

如果面试官没有特殊要求，可以用模板库中的list来模拟一个环形链表，而list本身不是一个环形结构，因此每当迭代器扫描到链表末尾的时候，

要记得把迭代器移到链表的头部。

int lastRemaining(unsigned int n, unsigned int m)
{
    if (n < 1 || m < 1)
        return -1;
    list <int>numbers;
    for (int i = 0; i < n; ++i)
        numbers.push_back(i);
    list<int>::iterator current = numbers.begin();
    while (numbers.size() > 1)
    {
        for (int j = 1; j < m; ++j)
        {
            ++current;
            if (current == numbers.end())
                current = numbers.begin();
        }
        current = numbers.erase(current);
        if (current == numbers.end())
            current = numbers.begin();
    }
    return *current;
}

这种思路的时间复杂度为O(MN)，空间复杂度为O(N)。

解法二：创新的解法

　　首先定义一个关于n和m的方程f(n,m)，表示每次在n个数字0,1，...，n-1中每次删除第m个数字后最后剩下的数字。经过分析（过程参考《剑指Offer》）得到：

n = 1时，f(n,m) = 0;

n > 1时，f(n,m) = [f(n-1,m)+m]%n;

int lastRemaining(unsigned int n, unsigned int m)
{
    if (n < 1 || m < 1)
        return -1;
    int last = 0;
    for (int i = 2; i <= n; ++i)
        last = (last + m)%n;
    return last;
}