有面值为1元、3元和5元的硬币若干枚，如何用最少的硬币凑够11元？

可以用DP 方法去解:

coins_count[x], 表示已知x元, 可以最少用 coins_count[x] 个硬币来凑出来。

coins_count[x] = min{ coins_count[x - 1] + 1,   coins_count[x - 3] + 1, coins_count[x - 5] + 1}

coins_count[11] 表示的数目的等于 : coins_count[10] , coins_count[8], coins_count[6] 中的最小值, 加 1。 比如 coins_count[8] 最小, 说明 8 元 最少需要 coins_count[8] 个硬币能凑出来, 在这个基础上添加一个面值 3 元的硬币, 就得到了 11 元。

//
// 使用若干个面值分别为 values[0..length] 的硬币 (可以重复, 并且 values[] 从小到大排序外币),
// 凑齐 Sum 元， 最少需要多少个硬币.
void find_least_coins(const int values[], const int length, const int Sum)
{
    int * coins_count = new int[Sum + 1];       // coins_count[Sum] 表示, Sum 元可以用 coins_count[Sum] 个硬币凑出来.

    int * coins_trace = new int[Sum + 1];       // coins_trace[Sum] 表示, 在 coins_trace[Sum] 的基础上, 加上一个硬币, 凑齐了Sum元.
                                                // eg: coins_trace[11] = 6, 表示在 6 元的基础上增加了一个硬币凑到了 11 元.
                                                // eg: coins_trace[5] = 0, 表示在 0 元的基础上增加了一个硬币凑到了 5 元, 即直接使用面值 5 元的硬币.

    for (int i = 0; i < values[0]; i++)         // 不能凑出比硬币最小面值还小的数额.
    {
        coins_count[i] = 0;
        coins_trace[i] = -1;                    // 表示无意义.
    }

    for (int i = values[0]; i < Sum + 1; i++)   // i 表示面额.
    {
        int min = i;                            // 最少使用硬币个数.
        int idx = 0;

        for (int j = 0; j < length; j++)        // j 表示硬币面值数组的索引.
        {
            if (i == values[j])                 // 面额 i 元可以用硬币 j 凑出, 则直接用硬币 j 搞定.
            {
                min = 1;                        // 表示最少使用 1 个硬币就搞定.
                idx = 0;                        // 不用借助其他硬币
                break;
            }
            else if (i > values[j])             // 面额 i 大于硬币 j 的面值
            {
                if (min >= coins_count[i - values[j]] + 1)
                {
                    // eg : coins_count[11] = coins_count[8] + 1 (面值5的硬币)
                    min = coins_count[i - values[j]] + 1;
                    idx = i - values[j];
                }
            }
        }
        coins_count[i] = min;
        coins_trace[i] = idx;
    }

    //
    // 输出
    // 输出组成 Sum 的硬币的个数
    int count = coins_count[Sum];
    cout << "total : " << count << endl;
    // 输出组成 Sum 的硬币的面值
    int i = Sum;
    for (int c = 0; c < count; c++)
    {
        cout << "coin[" << i - coins_trace[i] << "] ";
        i = coins_trace[i];
    }
    cout << endl;
}

void find_least_coins()
{
    int values[] = { 1, 3, 5 };
    find_least_coins(values, 3, 11);
}