USACO 2019 January Gold Cow Poetry (结论+dp)

题意：

有 (n) 个单词，每个单词有 (s_i) 长度，属于韵部（就是押韵集合） (c_i)

现在要构造 (m) 行的诗，每行长度都必须为 (k)，然后还要遵循某种指定的押韵方式，如果某几行要押韵，那么这些输入的字母 (e_i) 会相同

求可行的方案数

分析：

考场时一脸懵逼，怎么想 (dp) 时间复杂度都不行

过了2个月，被告知结论后，我终于会了

一个性质是我们其实并不关心韵部的排列，我们只关心每个韵部包含的句子个数。加入有 (x) 个韵部，第 (i) 个有 (f_i) 个元素，有 (w_k) 种方案使得能够用它押韵，那么我们知道 (i) 这个韵部对答案的贡献就是

[sumlimits_{k=1}^x{w_k}^{f_i} ]

拿样例做例子：

有 (8) 种方法用 (1) 押韵，(4) 种方法用 (2) 押韵，韵部 (A) 大小为 (2),韵部 (B) 大小为 (1)，那么答案为

[(8^2+4^2)*(8^1+4^1)=960 ]

那么我们现在需要处理出 (w) 数组，显然可以 (dp)

(dp[i]) 表示有多少种可能使得句子长度为 (i) 的方案数

对于每个长为 (len_j) 的单词，有

[dp[len_j+i]+=dp[i] ]

对于每个 (len_j+i=k) 的情况，记录 (sum[j]) 表示第 (j) 个韵的方案数，那么 (sum[c[j]]+=dp[i])

这样就 (ok) 了

然后套个快速幂就行了

#include <map>
#include <set>
#include <ctime>
#include <queue>
#include <stack>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <bitset>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <string>
#include <numeric>
#include <cstring>
#include <cassert>
#include <climits>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <functional>
#include <unordered_map>
using namespace std ;
//#define int long long
#define rep(i, a, b) for (int i = (a); i <= (b); i++)
#define per(i, a, b) for (int i = (a); i >= (b); i--)
#define loop(s, v, it) for (s::iterator it = v.begin(); it != v.end(); it++)
#define cont(i, x) for (int i = head[x]; i; i = e[i].nxt)
#define clr(a) memset(a, 0, sizeof(a))
#define ass(a, sum) memset(a, sum, sizeof(a))
#define lowbit(x) (x & -x)
#define all(x) x.begin(), x.end()
#define ub upper_bound
#define lb lower_bound
#define pq priority_queue
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define iv inline void
#define enter cout << endl
#define siz(x) ((int)x.size())
#define file(x) freopen(#x".in", "r", stdin),freopen(#x".out", "w", stdout)
typedef long long ll ;
typedef unsigned long long ull ;
typedef pair <int, int> pii ;
typedef vector <int> vi ;
typedef vector <pii> vii ;
typedef queue <int> qi ;
typedef queue <pii> qii ;
typedef set <int> si ;
typedef map <int, int> mii ;
typedef map <string, int> msi ;
typedef unordered_map <char, int> umap ;
const int N = 5010 ;
const int INF = 0x3f3f3f3f ;
const int iinf = 1 << 30 ;
const ll linf = 2e18 ;
const int MOD = 1000000007 ;
const double eps = 1e-7 ;
void print(int x) { cout << x << endl ; exit(0) ; }
void PRINT(string x) { cout << x << endl ; exit(0) ; }
void douout(double x){ printf("%lf
", x + 0.0000000001) ; }
template <class T> void chmin(T &a, T b) { if (a > b) a = b ; }
template <class T> void chmax(T &a, T b) { if (a < b) a = b ; }
template <class T> void upd(T &a, T b) { (a += b) %= MOD ; }
template <class T> void mul(T &a, T b) { a = 1ll * a * b % MOD ; }

umap Map ;
int n, m, s ;
ll dp[N], sum[N] ;
pii a[N] ;

int pw(int a, int b) {
    int s = 1 ;
    for (; b; b >>= 1, a = 1ll * a * a % MOD)
    if (b & 1) s = 1ll * s * a % MOD ;
    return s ;
}

signed main(){
    freopen("poetry.in", "r", stdin) ;
    freopen("poetry.out", "w", stdout) ;
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &s) ;
    rep(i, 1, n) scanf("%d%d", &a[i].fi, &a[i].se) ;
    rep(i, 1, m) {
        char S[10] ; scanf("%s", S) ;
        char c = S[0] ;
        if (Map.find(c) == Map.end()) {
            Map[c] = 1 ;
        } else {
            Map[c]++ ;
        }
    }
    dp[0] = 1 ;
    rep(k, 0, s) {
        rep(j, 1, n) {
            if (a[j].fi + k > s) continue ;
            if (a[j].fi + k == s) {
                upd(sum[a[j].se], dp[k]) ;
            } else {
                upd(dp[a[j].fi + k], dp[k]) ;
            }
        }
    }
    int ans = 1 ;
    loop(umap, Map, it) {
        int x = (*it).se ;
        int res = 0 ;
        rep(k, 0, n) {
            if (sum[k] == 0) continue ;
            upd(res, pw(sum[k], x)) ;
        }
        mul(ans, res) ;
    }
    printf("%d
", ans) ;
    return 0 ;
}

/*
写代码时请注意：
    1.ll？数组大小，边界？数据范围？
    2.精度？
    3.特判？
    4.至少做一些
思考提醒：
    1.最大值最小->二分？
    2.可以贪心么？不行dp可以么
    3.可以优化么
    4.维护区间用什么数据结构？
    5.统计方案是用dp？模了么？
    6.逆向思维？
*/