剑指offer--面试题9

题目一：求斐波那契数列第n项

自己所写代码如下：

#include "stdafx.h"
#include<iostream>

long Fibonacci(unsigned int N)
{
    long F0 = 0;
    long F1 = 1;
    if(N == 0)
        return F0;
    else if(N == 1)
        return F1;
    else
    {
        int n = 2;
        while(n <= N)
        {
            F0 = F0 + F1;
            F1 = F0 + F1;
            n += 2;
        }
        return (N % 2 == 0)? F0 : F1;
    }
}
int main()
{
    int N = 10;
    for(int i=0; i<=N; i++)
    {
        long FValue = Fibonacci(i);
        std::cout<<FValue<<std::endl;
    }
    return 0;
}

虽然知道可以用递归实现，但实际写代码却有些生疏，关键是对递归不是很熟练。。。

 参考作者代码，基于递归的实现如下：

long Fibonacci(unsigned int n)
{
    int results[2] = {0,1};
    //递归终止条件
    if(n < 2)
        return results[n];
    
    return Fibonacci(n-1) + Fibonacci(n-2);

}

递归代码相当简洁！但正如书中所说，用递归求解斐波那契数列的第n项，会由于有很多重复的子问题求解，比如求解f(10)时，会求解两次f(8)，因而造成计算复杂度随着n的增大而急剧增加！因此，该题用递归解并不是一种好的选择！时间复杂度：O(2_^n)，即以n为指数的增长。

作者所写基于循环的实现如下：（很规范）

long Fibonacci(unsigned int n)
{
    int results[2] = {0,1};
    
    if(n < 2)
        return results[n];

    long Fib_0 = results[0];
    long Fib_1 = results[1];
    long Fib_i;
    for(int i=2; i <= n; i++)
    {
        Fib_i = Fib_0 + Fib_1;
        Fib_0 = Fib_1;
        Fib_1 = Fib_i;
    }
    
    return Fib_i;
}

和自己所写的代码，思想一致！时间复杂度：O(n)。

该题时间复杂度可以达到O(logn)，只做了解了。

 题目二：（关于斐波那契数列的应用）

青蛙跳台阶，每次只能跳1个台阶或者2个台阶，则问青蛙若要跳n个台阶共有多少种跳法？

分析：该题的思路不太好想。。。

首先要想到以n为变量，n个台阶的跳法共有f(n)种，那么：

分析一：到第n-1阶后，再跳一步即到第n阶，此时的跳法为f(n-1)；

           到第n-2阶后，再跳一个两步或者连续跳一步即可到第n阶，但此时注意到后者包含在上一步中，所以此时的跳法为f(n-2)，而非2*f(n-2)。

分析二：以开始跳为分界点更好些。

          第一跳若为跳一步，则剩下的n-1台阶的跳法为f(n-1)；

          第一跳若为跳一个两步，则剩下的n-2台阶的跳法为f(n-2)；

          避免 对分析一中特殊情况的忽略。

综上，n个台阶的跳法f(n)=f(n-1)+f(n-2)为斐波那契数列！！！