对偶问题

对偶问题

定义

其实就是一个式子：

[maxlbrace c^Txmid Axleq b brace=minlbrace b^Ty|A^Tygeq c brace ]

其中(x,y,b,c)为列向量(只有一列的矩阵)，(A)为一个(n imes m)的矩阵，(A^T)表示(A)的转置。

两个矩阵比大小：若(A)中的每个元素在(B)中对应位置均小于(A)，则有(A<B)。

感觉好像很迷啊。。。那么这个东西我们怎么理解呢？

现在我们有一个商人，它要卖商品，然后我们还有一些原料，考虑这些东西代表什么：

(A_{j,i}:) 第(i)个商品需要多少个原料(j)。

(b:) 每种原料有多少。

(x:) 每种商品卖了多少。

(c:) 每种商品的价格。

再看看左边的式子，就好理解多了，表示的就是他最多能卖出的价格，

那么右边的式子呢？这个商人现在转行了，他不卖商品了，他去卖原料去了。。。（雾

那么有：

(y:) 每种原料一个单位以多少的价格卖出。

那么我们想一想，你既然都卖原料了，那肯定利润要比直接卖商品多啊，而且必须保证每种原料换成商品比原来卖的价格高啊，所以我们就有了左边=右边

感性理解吼啊

例题

CF671D

考虑这道题怎么用对偶问题转化：

(c)为全(1)列向量，长度为(m)。
(y)为(0,1)长度为(m)列向量，表示一条链选或不选。
(A)为有(m)行，(n-1)列的矩阵，(A[j][i])表示第(i)条边是否包含于第(j)条链中。
(b)表示长为(m)的列向量，表示选一条链的代价。

然后我们就只要使(c^Tx)最大，只需要考虑(x)是什么了。

发现(x)即为每条边在所有链中出现了多少次，而限制条件即为这条边被覆盖的次数小于等于包含它的链的权值。

这样我们就将问题转化了，后续过程戳这里。