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  • 麻省理工公开课:线性代数 第3课 乘法和逆矩阵

    参考资料:

    网易公开课:http://open.163.com/special/opencourse/daishu.html  麻省理工公开课:线性代数

    教材:Introduction to Linear Algebra, 4th edition  by Gilbert Strang

    链接:https://pan.baidu.com/s/1bvC85jbtOVdVdw8gYMpPZg 
    提取码:s9bl 

    一、矩阵乘法

    假设:$A$为$m imes n$矩阵,$B$为$n imes p$矩阵,$AB=C$,$C$为$m imes p$矩阵

    (1)逐个元素$C_{ij}$求解公式

    $$C_{ij}=sum_{k=1}^{n}A_{ik}B_{kj}$$

    (2)逐列求解$C_{:,j}$:$C$每一列$C_{:,j}$为$A$的列的线性组合,组合系数由$B$的每一列决定

    (3)逐行求解$C_{i,:}$:$C$每一行$C_{i,:}$为$B$的行的线性组合,组合系数由$A$的每一行决定

    (4)整列乘以整行:先分别将矩阵$A$的各列($m imes 1$)与矩阵$B$的各行($1 imes p$)相乘得到$m imes p$的秩1矩阵,再求和

    $$C=sum_{k=1}^{n}A_{color{red}:,k}B_{k,color{red}:}$$

     (5)分块乘法

    二、矩阵的逆(矩阵可逆或非奇异时存在):

    假设$A$为方阵,相应的逆矩阵为$A^{-1}$

    (1)性质:$A^{-1}A=I=AA^{-1}$

    (2)高斯-约旦消元法(求解逆矩阵:$A^{-1}[A~|~I]=[A^{-1}A~|~A^{-1}I]=[I~|~A^{-1}]$)

    注:将左侧的矩阵$A$变换为单位矩阵$I$,则右侧的单位矩阵$I$会变为逆矩阵$A^{-1}$

    (3)奇异矩阵(不可逆):存在非零向量$mathbf{x}$使得$Amathbf{x}=0$,即奇异矩阵可以通过各列的非零线性组合得到零向量

    (4)乘积的逆:$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$  

    (5)$(A^{-1})^{T}=(A^{T})^{-1}$  //转置和逆的顺序可以互换

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