欧拉角、四元数和矩阵的对比(转)

三维空间的旋转可以用欧拉角，旋转矩阵，轴-角，四元数，双四元数来表示，本文主要总结这些表示方法的优缺点。

一．  欧拉角（Euler-Angles）

1.1    介绍

欧拉角包括3个旋转，根据这3个旋转来指定一个刚体的朝向。这3个旋转分别绕x轴，y轴和z轴，分别称为Pitch，Yaw和Roll，如下图所示。欧拉角可以表示成z-x-z，x-y-x，z-y-z等形式，旋转的顺序影响结果。

Pitch

Yaw

Roll

图1. 欧拉角的表示

欧拉角很重要的一个优点就是直观，容易理解。

欧拉角主要有下面几个缺点：

（1）       欧拉角是不可传递的，旋转的顺序影响旋转的结果，不同的应用又可能使用不同的旋转顺序，旋转顺序无法统一；

（2）       3个旋转的角度可以不受限制，即可以是10000度，也可以是-1500度；

（3）       可能造成万向节死锁（Gimbal Lock）。

1.2 平万向节死锁

当两个环发生重叠的时候，就有丢失了一个自由度，如图2所示。对万向节死锁可以参考【1】【2】【3】，特别是【1】提供的视频，对知识点的介绍非常的形象生动。也正是由于锁的存在，无法使用欧拉角实现球面平滑的插值。

图2. 万向节死锁

二． 旋转矩阵

用3*3的矩阵，可以表示三维空间中所有的旋转，设θ表示沿着轴的方向望去时，方向是顺时针的旋转角度。则绕着X轴、Y轴、Z轴旋转θ角，对应的旋转矩阵表示如下所示：

X=⎛⎝⎜1 0 0 0cosθsinθ0−sinθcosθ⎞⎠⎟ Y=⎛⎝⎜cosθ0−sinθ010sinθ0cosθ⎞⎠⎟ Z=⎛⎝⎜cosθsinθ0−sinθcosθ0001⎞⎠⎟

 

旋转矩阵支持传递性，使用起来很简单方便，但是存在下面一些缺点：

（1）       浪费内存，至少需要12个参数，来表示一个6个自由度的结构；

（2）       可能就引入不该有的缩放（Scaling）和错切（Sheering）

（3）       矩阵插值的实现难度很大；

（4）       不直观。

三．  轴-角度

绕着单位长度的轴旋转某个角度，使用组合对(n⃗ ,θ)。

该方向很直观，避免了欧拉角使用时的万向节死锁；但是实现多个旋转的组合时，比较困难；不能简单的通过对4个元素的线性插值来实现轴-角度的插值，会引起错误。

四． 四元数

参考《四元数》，也可以参考【5】【6】【7】，这里只简单的描述下该方法的优缺点。

它的缺点就是很不直观，理解起来较费劲。但是存在很多优点：

（1）       更健壮，不会出现欧拉角中出现的万向节死锁。

（2）       更高效，花费更少的空间和时间；当使用有限的精度对矩阵进行大量的操作，就会发生漂移（Drift），实数的四舍五入就会不断累积到矩阵中。由于漂移的存在，旋转的操作就可能发生错误，所以要对矩阵进行归一化操作，重置矩阵，这是很费时的操作。四元数只有4个值，而矩阵有9个，它经历的漂移作用就小，而且归一化时间就更少。

（3）       使用起来很简单

 

参考

【1】       http://v.youku.com/v_show/id_XNzkyOTIyMTI=.html

【2】       http://www.cnblogs.com/soroman/archive/2008/03/24/1118996.html

【3】       http://www.cnitblog.com/luckydmz/archive/2010/09/07/68674.aspx

【4】       Kenwright, Ben. "A Beginners Guide to Dual-Quaternions."

【5】       http://www.cprogramming.com/tutorial/3d/quaternions.html

【6】       http://isg.cs.tcd.ie/projects/DualQuaternions/

【7】       http://www.gamedev.net/page/resources/_/technical/math-and-physics/quaternion-powers-r1095