QwQ……不知不觉这么久没写过博客了
感觉自己线代好菜啊……准备这些天去听听吉尔伯特爷爷的公开课，好好自学一下
大概看了看时间安排，感觉一天两节课正好够
为了方便督促自己，每天把笔记贴在这里好了
1.方程组的几何解释
每一个(n)元线性方程组都可以用矩阵表示。除此之外还可以对方程组做以下解释：
行图像：每个方程的解都可以表示为(n)维空间内的一个超平面，所有超平面的交就是整个方程组的解。（对于系数矩阵可逆的情况，所有超平面的交应当恰好是一个点。）
列图像：把方程组的每一列都看成一个列向量，那么方程组就可以看成(n)个列向量线性组合形成对应的常数向量。方程组的解代表每个列向量对应的系数。
在不考虑求解方程组时，列图像的思考方向还会产生另一个问题：列向量的所有线性组合能否充满整个(n)维空间？
求解方程组的系统方法：消元法
2.矩阵消元
对于方程组(Ax=b)，可以用一系列初等变换将(A)变为上三角矩阵(U)，之后直接倒序回代即可得到整个方程组的解。通常称为高斯消元（Gauss Elimination）。
主元（pivot）不能为0。为了找到主元，可能还需要做一些行交换。
行列式等于主元之积
如果某一次无法找到任何主元，则说明此方程组无解或解不唯一，同时也说明(A)是奇异矩阵。
一个矩阵左乘一个行向量可以得到矩阵的行向量的一个线性组合。推广到多行的情况，发现高斯消元过程中的行变换可以用左乘一个初等矩阵表示。
（初等矩阵（Elementary Matrix）：单位矩阵经过一次初等变换后得到的矩阵）
例如令一个3*3矩阵的第二行减去第一行的3倍，只需令原矩阵左乘初等矩阵(left[matrix{1&0&0\-3&1&0\0&0&1} ight])。
令原矩阵依次左乘高斯消元过程中各次变换对应的初等矩阵，即可得到对应的上三角矩阵(U)。令(T)表示所有初等矩阵的乘积，则有(TA=U)。
更进一步地，如果高斯消元直接得到了单位矩阵(E)，那么根据之前的结论，就会有(TA=E)，也就是(T=A^{-1})。（这个结论可以用来简单地解释高斯消元求逆矩阵的原理。）
第三课先咕一会QwQ
4. A的LU分解
(LU)分解：对于一个矩阵(A)，寻找下三角矩阵(L)与上三角矩阵(U)满足(A=LU)。
事实上还有(LDU)分解：(A=LDU)（(D)表示对角矩阵）
仍然考虑消元法，令(T)表示所有单位矩阵的乘积，则有(TA=U;Rightarrow;A=LU)
实际上确实可以取(L=T^{-1})，因为组成(T)的每个初等矩阵的逆仍然是下三角矩阵。
如果不存在行交换操作，可以直接把消元乘数写进(L)中，因为倒序相乘的过程中非对角线元素不会互相影响。
朴素的高斯消元和高斯-约当消元都需要(Theta(n^3))次操作。（大约是(frac{n^3}3)）
如果能事先处理出(A=LU)，就可以用(Theta(n^2))次操作来处理一个右侧向量了。
“转置与置换(Permutations)”
置换矩阵可以用于进行一次乃至许多次行互换。（事实上它也被译作排列矩阵）
置换矩阵的逆，两个置换矩阵的乘积仍然是置换矩阵（显然）
Group
事实上，置换矩阵的逆就是它的转置。
5. 转置-置换-向量空间R
置换矩阵(Permutation Matrix)是用于进行行互换的矩阵
如上所述，对一个可逆矩阵进行消元时，如果遇到了主元为0的情况，就需要进行行互换才能继续下去。
（在数值计算时，特别小的非零主元也会对数值稳定性产生负面影响，这时也需要进行行互换操作来保证数值稳定性。）
(LU)分解时，对于需要进行行变换的情况，可以记录下过程中对(A)进行的行交换，这时(A=LU)也就变成了(PA=LU)。（这个形式对任意(A)都成立；这是(LU)分解的一般形式。）
置换矩阵是行重新排列了的单位矩阵。（单位矩阵当然也是一个置换矩阵）
置换矩阵的一些很显然的性质：
- 每一个(n)阶置换都一一对应一个(1)~(n)的排列。
- 所有置换矩阵都可逆，并且它的逆就是它的转置。（(P^{-1}=P^T)）
- p.s.满足(AA^T=E)（即(A^{-1}=A^T)）的矩阵并不一定是置换矩阵，在很久之后会再讨论它们。
（咕咕咕
- p.s.满足(AA^T=E)（即(A^{-1}=A^T)）的矩阵并不一定是置换矩阵，在很久之后会再讨论它们。
- 置换矩阵的行列式只可能是(pm 1)，更具体地说是((-1)^{排列的逆序对数})。
转置：(A^T)即为(A)翻转后的矩阵，即(a^T_{ij}=a_{ji})。
一个(n imes m)矩阵的转置是一个(m imes n)的矩阵。
对称矩阵(Symmetric Matrix)：顾名思义，满足(A^T=A)的矩阵。
性质：(forall A)（甚至不需要是方阵），(AA^T)一定是对称矩阵。
（证明很简单：(left(AA^T ight)^T = left(A^T ight)^T A^T=AA^T)）
向量空间部分待填QwQ