内埋式永磁同步电机的电磁转矩方程如下:
式中，Fai_f为转子永磁磁链，np为极对数，Ld与和Lq分别为交、直轴电感，id和iq分别为交、直轴电流。
在控制系统中，提高电流的利用率是每个研究者所追求的目标，为了提高定子电流的利用率，要求用最小的电流产生最大的转矩，也就是对定子电流求极值的问题，假设其模值为
只要对上式求极值，就可以得出电流的最佳利用值。
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数学问题描述
求极值： 式（3-12）
条件： 式（3-11）
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为了找到极值的关系，利用数学中的拉格朗日极值定理（拉格朗日乘数），引入辅助函数:
式中，
为拉格朗日乘子，对式(4一12)求偏导，并令其等于零可得
求解上式，由前两个方程式可以得到永磁同步电机直轴电流id和交轴电流iq之间的关系
lyq注：
求出了id几关于iq的方程，只需将(3一15)带入到(3一14)的第三个式中，就可以求出在最大转矩时的交轴电流iq
丁强《永磁同步电机矢量控制系统弱磁控制策略研究》
此时，IPMSM 在电流环限制内的最大转矩/电流运行轨迹如图 1 中 OA 所示。
为了便于工程实现，利用 Matlab 可得到 i d =f(T e )和 i q = f(T e )的函数曲线，选取 IPMSM 电机参数：P N =100 kW ； U N = 233 V ； n p = 2 ； R s = 2.85 欧姆 ； R_Fe =102.85 欧姆；Ld = 2.5 mH；Lq = 7.5 mH；J = 0.008 kg⋅m 2；Fai_f = 0.75 Wb；n_N = 1 800 r/min。采用多项式拟合方法可得 3 阶多项式拟合函数表达式为
i d = -0.001Te^3 - 0.0032Te^2 + 1.575Te - 0.217 (4)
i q = 0.003Te^3 - 0.0216Te^2 - 0.0103Te + 0.112 (5)
拟合之后的曲线如下图：
id和iq关系
附注：
式（3-15）的由来
