常见排序算法导读(3)[简单选择排序]

这一节将介绍简单选择排序(Simple Selection Sort)。 在介绍简单排序算法之前，先给出排序的确切定义，并简单介绍一下排序算法的稳定性。

排序的确切定义

假设含有n个对象的序列为{R[0], R[1], ..., R[n-1]}, 其对应的关键字(key)序列为{K[0], K[1], ..., K[n-1]}。 所谓排序， 就是确定0, 1, ..., n-1的一种排列p[0], p[1], ..., p[n-1], 使各个关键字满足如下的非递减(升序)或非递增(降序)关系：

    K[p[0]] <= K[p[1]] <= ... <= K[p[n-1]] 或

    K[p[0]] >= K[p[1]] >= ... >= K[p[n-1]]

也就是说， 所谓排序，就是根据关键字递增或递减的顺序，把数据对象依次排列起来，使一组任意排列的对象变成一组按其关键字线性有序的对象。

排序算法的稳定性

如果在对象序列中有两个对象R[i]和R[j]，它们的关键字K[i] == K[j]，且在排序之前，对象R[i]排在R[j]前面。如果在排序之后，对象R[i]仍排在R[j]的前面，则称这个排序算法是稳定的，否则称这个排序算法是不稳定的。 例如：在A中学B年级C班，有两个学霸分别叫陈小明和黎小军，陈小明的学号为007，黎小军的学号为008，在一次期末考试的时候，陈小明和黎小军的总成绩(750分为满分)都是699。按照稳定的排序算法，陈小明应该排在黎小军的前面；如果按照不稳定的排序算法，陈小明就排到了黎小军的后面。虽然使用稳定的排序算法和不稳定的排序算法，排序的结果会有所不同，但不能说不稳定的排序算法就不好，各有各的用途罢了。

注意：后面讨论的所有排序算法，如未特别说明，都是升序排序。

下面以简单选择排序为例讨论选择排序(selection sort)算法。

什么是选择排序?

一种最简单的排序算法是这样的：首先，找到数组中最小的那个元素；其次，将它和数组的第一个元素交换位置（如果第一个元素就是最小元素，那么它就和自己交换）；再次，在剩下的元素中找到最小的元素，将它与数组的第二个元素交换位置。如此循环往复，直到将整个数组都排好序。这种方法叫做选择排序(selection sort)，因为它在不断地选择剩余元素之中的最小的那一个。

典型的简单选择排序过程是这样子滴， 【图片来源戳这里】

o 简单选择排序(simple selection sort)的C代码实现 : 函数s2sort()

/*
 * Simple Selection Sort (s2sort in short)
 */
void                                      //
s2sort(int a[], size_t n)                 // NOTE: a[0 .. i] is always sorted and
{                                         //       a[i+1 .. n-1] is unsorted
    for (int i = 0; i < n; i++) {         //
        int min = i;                      // Index of minimal element
                                          // Find the minimal element in
        for (int j = i + 1; j < n; j++) { //     the unsorted a[i+1 .. n-1]
            if (a[j] < a[min]) {          // If this element is less, then
                min = j;                  //     it is the new minimum and
            }                             //     remember its index
        }                                 //
                                          //
        if (i != min) {                   // Exchange the new mininum a[min]
            exchange(a, i, min);          //     found in a[i+1 .. n-1]
        }                                 // with     the old minimum a[i]
    }                                     //
}                                         //

static void exchange(int a[], int i, int j)
{
    int t = a[i];
    a[i]  = a[j];
    a[j]  = t;
}

另外， 为了更好的理解，这里也给出s2sort()的递归实现。

static int getIndexOfMin(int a[], size_t n);
static void exchange(int a[], int i, int j);

void
s2sort(int a[], size_t n)
{
    if (n == 1)
        return;

    int min = getIndexOfMin(a, n);
    if (min != 0)
        exchange(a, 0, min);
    s2sort(++a, --n);
}

static int getIndexOfMin(int a[], size_t n)
{
    int min = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++)
        if (a[i] < a[min])
            min = i;
    return min;
}

static void exchange(int a[], int i, int j)
{
    int t = a[i];
    a[i]  = a[j];
    a[j]  = t;
}

接下来，给出一个完整的s2sort.c并编译后测试, 以便形象化地理解简单选择排序的全过程。

o s2sort.c // 将s2sort()做稍稍增强以打印详细的排序过程。注意：下面的程序中某些代码行风格很不好是故意的，因为只是为了帮助打印排序过程故一切从简。

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

typedef struct obs_s {
        unsigned int loop;
        unsigned int exch;
} obs_t;

obs_t g_obs = { .loop = 0, .exch = 0 };

static void exchange(int a[], int i, int j);
static void show(int a[], size_t n);

static void exchange(int a[], int i, int j)
{
    int t = a[i];
    a[i]  = a[j];
    a[j]  = t;
}

static void show(int a[], size_t n)
{
        for (int i = 0; i < n; i++)
                printf("%c ", a[i]);
}

void
s2sort(int a[], size_t n)
{
        for (int i = 0; i < n; i++) {
                int min = i;

                for (int j = i + 1; j < n; j++) {       g_obs.loop++;
                        if (a[j] < a[min]) {
                                min = j;
                        }
                }

                if (i != min) {                         g_obs.exch++;
                        printf("#%2d:		", i); show(a, n);
                        printf("	<-- exchange(a[%d], a[%d])
", i, min);

                        exchange(a, i, min);
                } else {
                        printf("#%2d:		", min); show(a, n); printf("
");
                }
        }
}

int
main(int argc, char *argv[])
{
        if (argc < 2) {
                fprintf(stderr, "Usage %s <C1> [C2] ...
", argv[0]);
                return -1;
        }

        argc--;
        argv++;

        size_t n = argc;
        int *a = (int *)malloc(sizeof(int) * argc);
        if (a == NULL) {
                fprintf(stderr, "failed to malloc()
");
                return -1;
        }

        for (int i = 0; i < n; i++)
               *(a+i) = argv[i][0];

        printf("               	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
");
        printf("Before sorting:	"); show(a, n); printf("
");
        s2sort(a, n);
        printf("After  sorting:	"); show(a, n); printf("
");
        printf("
");
        printf("Total loop     times : %2d
", g_obs.loop);
        printf("Total exchange times : %2d
", g_obs.exch);

        free(a); a = NULL;

        return 0;
}

o 编译并测试

$ gcc -g -Wall -m32 -std=c99 -o s2sort s2sort.c

$ ./s2sort      0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a        #[1]
                0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Before sorting: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a
# 0:            0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a
# 1:            0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a
# 2:            0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a
# 3:            0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a
# 4:            0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a
# 5:            0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a
# 6:            0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a
# 7:            0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a
# 8:            0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a
# 9:            0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a
#10:            0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a
After  sorting: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a

Total loop     times : 55
Total exchange times :  0

$ ./s2sort      a 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0        #[2]
                0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Before sorting: a 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
# 0:            a 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0   <-- exchange(a[0], a[10])
# 1:            0 9 8 7 6 5 4 3 2 1 a   <-- exchange(a[1], a[9])
# 2:            0 1 8 7 6 5 4 3 2 9 a   <-- exchange(a[2], a[8])
# 3:            0 1 2 7 6 5 4 3 8 9 a   <-- exchange(a[3], a[7])
# 4:            0 1 2 3 6 5 4 7 8 9 a   <-- exchange(a[4], a[6])
# 5:            0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a
# 6:            0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a
# 7:            0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a
# 8:            0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a
# 9:            0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a
#10:            0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a
After  sorting: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a

Total loop     times : 55
Total exchange times :  5

$ ./s2sort      S O R T E X A M P L E        #[3]
                0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Before sorting: S O R T E X A M P L E
# 0:            S O R T E X A M P L E   <-- exchange(a[0], a[6])
# 1:            A O R T E X S M P L E   <-- exchange(a[1], a[4])
# 2:            A E R T O X S M P L E   <-- exchange(a[2], a[10])
# 3:            A E E T O X S M P L R   <-- exchange(a[3], a[9])
# 4:            A E E L O X S M P T R   <-- exchange(a[4], a[7])
# 5:            A E E L M X S O P T R   <-- exchange(a[5], a[7])
# 6:            A E E L M O S X P T R   <-- exchange(a[6], a[8])
# 7:            A E E L M O P X S T R   <-- exchange(a[7], a[10])
# 8:            A E E L M O P R S T X
# 9:            A E E L M O P R S T X
#10:            A E E L M O P R S T X
After  sorting: A E E L M O P R S T X

Total loop     times : 55
Total exchange times :  8

以上排序过程(#[3])截图如下(截图来源: Algorithms Fourth Edition P249)

小结： 对于长度为N的数组，简单选择排序需要大约(N*N/2)次比较和N次交换。 简单排序算法是不稳定的算法，其时间复杂度和空间复杂度是：

Worst-case performance 	    О(N**2)
Best-case  performance 	    О(N**2)
Average    performance 	    О(N**2)
Worst-case space complexity О(N) total, O(1) auxiliary

到此为止，我们已经完全弄明白了简单选择排序的原理。其核心就是：整个序列中最小的元素首先被挑选出来放在序列的最前端。下一节，我们将介绍直接插入排序。