HDU:2067 小兔的棋盘

小兔的棋盘

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题目链接
Problem Description
小兔的叔叔从外面旅游回来给她带来了一个礼物，小兔高兴地跑回自己的房间，拆开一看是一个棋盘，小兔有所失望。不过没过几天发现了棋盘的好玩之处。从起点(0，0)走到终点(n,n)的最短路径数是C(2n,n),现在小兔又想如果不穿越对角线(但可接触对角线上的格点)，这样的路径数有多少?小兔想了很长时间都没想出来，现在想请你帮助小兔解决这个问题，对于你来说应该不难吧!
Input
每次输入一个数n(1<=n<=35)，当n等于－1时结束输入。
Output
对于每个输入数据输出路径数，具体格式看Sample。

Sample Input
1
3
12
-1

Sample Output(按列看
1 1 2
2 3 10
3 12 416024

那句不穿越对角线的意思，，其实意思就是从（0,0）到（n,n）不穿过对角线的走法，则只可以走上三角或下三角，因为棋盘关于对角线对称，因此只需要求从上三角走或下三角走就可以了，根据对称性，求出的值称2就是总的方案数。
假如按上三角的方案走，则第一行除了（0，0）点，走到其他点的方案数都是1，对于任何一个点，它可以由与它相邻的左边的点，或与它相邻的上方的点得到，因为不能跨越对角线

因此如果是对角线上的点，对于上三角的求法来说，它只能由与它相邻的上方的点得到，因此对于a[i][j]如果i==j ,则a[i][j] = a[i-1][j]，

否则它可以由与它相邻的左边的点，或与它相邻的上方的点得到，a[i][j] = a[i-1][j]+a[i][j-1]。

a[i][j]存放的是从（0,0）点到(i,j)的方案数。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<stdlib.h>
#include<stack>
#include<set>
#include<queue>
 
using namespace std;
 
long long int a[40][40];  //存放地图 
int main()
{
    a[0][0] = 0;
    for(int i = 1; i <= 36; i++)
    {
        a[0][i]=1;
    }
    for(int i = 1; i <= 36; i++)  //行数
    {
        for(int j = i; j <= 36; j++)
        {
            if(i == j)
                a[i][j] = a[i-1][j];
            else 
                a[i][j] = a[i-1][j] + a[i][j-1];
        }
    }
    int n,t=0;
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        if(n == -1)
            break;
        else 
            printf("%d %d %lld
",++t,n,2*a[n][n]);
    }
    return 0;
}

PS:
while (~scanf("%d%d",&m,&n))什么用的？
ACM中比较常见，其功能是循环从输入流读取m和n，直到遇到EOF为止，等同于while (scanf("%d%d",&m,&n)!=EOF)。
scanf()函数返回成功赋值的数据项数，出错时则返回，EOF定义为-1。~是按位取反，-1十六进制补码表示为0x ffffffff，f是二进制的1111，取反后就全部变成0了，
于是while结束。只有返回值为EOF（即-1）时，其取反的的值（即while循环的判断条件）才为0，才能结束循环，其它输入情况下（无论是否输入成功）while循环的判断条件为非0，即为真。
这种写法的漏洞在于：一但输入的值为字母、符号之类的，scanf赋值不成功把读到的内容又返回到stdin的缓冲区（假设这个值为t），
其取反得到的值使while又进入到下一次循环，scanf又从stdin缓冲区里读到了原先吐回的t，如此成了死循环……

这个就是 卡特兰数

卡特兰数是组合数学中的一种著名数列，通常用如下通项式表示

[f(n) = frac {C_{2n}^n}{n+1} ]

递推式子

[f(n) = sum_{i=0}^{n-1}f(i) imes f(n-i-1) ]

实际应用中常用到另一个变形

[f(n) = C_{2n}^n-C_{2n}^{n-1} ]

另外令第n个卡特兰数为(C_n)那么还满足

[C_n = C_0C_n+C_1C_{n-1}+dots+C_nC_0 ]

[(n-3)C_n = frac n2 left(C_3C_{n-1}+C_4C_{n-2}+cdots+C_{n-2}C_4+C_{n-1}C_3 ight) ]

另外一个小问题

n乘n的正方形网格，从左上角到右下角一共有多少种走法？

每次只能选择右边或者上边，确定向右的n步之后，向上的就确定了，所以是(C_{2n}^n)