二叉排序树（BST）
二叉排序树，又称二叉查找树（BST）
左子树结点值＜根节点值＜右子树结点值
如果用中序遍历来遍历一棵二叉排序树的话，可以得到一个递增的有序数列
左根右
二叉排序树的查找
//二叉排序树结点
typedef struct BSTNode{
int key;
struct BSTNode *lchild,*rchild;
}BSTNode,*BSTree;
查找是非常方便的，目标值和根节点比较，如果相等则成功，比根节点大往右去，比根节点小往左去。
查找失败就返回null
非递归方式：
//在二叉排序树中查找值为key的结点
BSTNode *BST_search(BSTree T, int key){
while(T!=NULL&&key!=T->key){ //若树为空或等于根节点值，则结束循环
if(key<T->key){ //小于，则在左子树
T=T->lchild;
}else{ //大于，则在右子树
T=T->rchild;
}
}
return T;
}
最坏空间复杂度=O(1)
递归方式：
//在二叉排序树中查找值为key的结点(递归实现)
BSTNode *BSTSearch(BSTree T,int key){
if(T==NULL){
return NULL; //查找失败
}
if(key==T->key){
return T; //查找成功
}else if(key <T->key){
return BSTSearch(T->lchild,key); //在左子树找
}else{
return BSTSearch(T->rchild,key); //在右子树找
}
}
最坏空间复杂度=O(h) 和树的高度相同
二叉排序树的插入
若原二叉排序树为空，则直接插入结点；
否则，若关键字k小于根节点值，则插入到左子树，若关键字k大于根节点值，则插入到右子树。
//在二叉排序树插入关键字为k的新节点（递归实现）
int BST_Insert(BSTree &T,int k){
if(T == NULL){ //原树为空，新插入的结点为根节点
T=(BSTree)malloc(sizeof(BSTNode));
T->key = k;
T->lchild = T->rchild = NULL;
return 1; //返回1，插入成功
}else if(k == T->key){ //树中不能存在相同关键字的结点，插入失败
return 0;
}else if(k<T->key){ //插入到T的左子树
return BST_Insert(T->lchild,k);
}else{ //插入到T的右子树
return BST_Insert(T->rchild,k);
}
}
最坏空间复杂度=O(h)
二叉排序树的构造
其实就是不断插入新节点的过程
//按照str[]中的关键字序列建立二叉排序树
void Creat_BST(BSTree &T,int str[],int n){
T = NULL; //初始化时T为空树
int i = 0;
while(i<n){ //依次将每个关键字插入到二叉排序树
BST_Insert(T,str[i]);
i++;
}
}
不同的关键字序列可能得到同款二叉排序树，也可能得到不同款二叉排序树
二叉排序树的删除
先搜索找到目标结点：
（需要保证二叉排序书的特性——左子树结点值<根节点值<右子树结点值）
-
若是被删除的结点z是叶节点，则直接删除，不会破坏二叉排序树的性质。
-
若结点z只有一棵左子树或右子树，则让z的子树称为z父节点的子树，替代z的位置
-
若结点z有左、右两棵子树，则令z的直接后继（或直接前驱）替代z，然后从二叉排序树中删去这个直接后继（或直接前驱），这样就转换成了第一或第二种情况。
进行中序遍历，可以得到一个递增的有序序列。
用右子树最小的值来替代被删除的值（最左下）
用左子树最大的值来替代被删除元素（最右下角）
查找效率分析
查找长度——在查找运算中，需要对比关键字的次数称为查找长度，反应了查找操作时间复杂度
查找成功的平均查找长度ASL（Average Search Length）
若树高h，找到最下层的一个结点需要对比h次
最坏情况：每个节点只有一个分支，树高h=结点数n。平均查找长度=O(n)
最好情况：
n个结点的二叉树最小高度为
[lfloor log_2n
floor+1
]
平均查找长度=
[O(log_2n)
]
查找失败
