算概率（dp，数论）

链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/3003/C
来源：牛客网

题目描述

牛牛刚刚考完了期末，尽管牛牛做答了所有 n 道题目，但他不知道有多少题是正确的。
不过，牛牛知道第 i 道题的正确率是 p_i。
牛牛 想知道这 n 题里恰好有 0,1,…,n 题正确的概率分别是多少，对 10⁹+7取模。
对 10⁹+7取模的含义是：对于一个 b≠0的不可约分数 a/b，存在 q 使得 b×q mod (10⁹+7)=a，q 即为 a/b 对 10⁹+7取模的结果。

输入描述:

第一行，一个正整数 n 。
第二行，n 个整数 p₁,p₂,…,p_n，在模 10⁹+7意义下给出。
保证 1≤n≤2000。

输出描述:

输出一行 n+1个用空格隔开的整数表示答案（对 10⁹+7取模）。

输入

1
500000004

输出

500000004 500000004

说明

有 1 道题，做对的概率是 1/2 （ 1/2在模 10⁹+7意义下为 500000004 ）。

先说一点：

mod为10⁹+7，为质数

inv(b,mod) 表示b对mod的逆元，由费马小定理知b对mod的逆元即为b^mod-2。

求(a/b)%mod即为求(a*inv(b,mod))%mod,即等于该题的p。

long long fpow(long long a, long long b)
{
    if (a == 0) return 0;
    long long ans = 1;
    for (; b; b >>= 1, a = (a % mod * a% mod) % mod)
        if (b & 1) ans = (ans % mod * a % mod) % mod;
    return ans;
}
LL inv(LL a,LL mo)
{
    return fpow(a,mo-2)%mo;
} 
//求(a/b)%mod: printf("%lld
",a*inv(b,mod)%mod);

另外注意到(a/b)%mod+(1- a/b)%mod = mod+1，由此可通过某事件概率求得其对立概率。

该题总体来说还是用dp来做，只不过用概率%mod（即题中p）来代替原本的概率即可。

dp[ i ][ j ] 表示前 i 道题做对 j 道的概率。

转移时考虑第 j 道题是否做对，转移方程为：dp[ i ][ j ]=dp[ i-1 ][ j ]×(1−p_i)+dp[ i-1 ][ j-1 ]×p_i  。

时间复杂度 O(n²)

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <iostream>
#include <string>
#include <math.h>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <stack>
#include <queue>
#include <set>
#include <map>
#include <sstream>
const int INF=0x3f3f3f3f;
typedef long long LL;
const LL mod=1e9+7;
const int maxn=1e4+10;
using namespace std;

LL P[2005];//表示第i道题做对的概率
LL dp[2005][2005];//dp[i][j]表示前i道题做对j道的概率

int main()
{
    #ifdef DEBUG
    freopen("sample.txt","r",stdin);
    #endif

    int n;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%lld",&P[i]);
    dp[0][0]=1;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        dp[i][0] = dp[i - 1][0] * (mod + 1 - P[i]) % mod;
        for (int j = 1; j <= i; ++j)  //这个过程中求出来了有i题的情况下，做对0到i道题目的概率
            dp[i][j] = (dp[i - 1][j] * (mod + 1 - P[i]) + dp[i - 1][j - 1] * P[i]) % mod;
    }
    for(int i=0;i<=n;i++)
        printf(i==n?"%lld
":"%lld ",dp[n][i]);

    return 0;
}

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