具体数学第二版第三章习题（4）

46 （1）证明：

首先有$2n(n+1)=left lfloor 2n(n+1)+frac{1}{2} ight floor=left lfloor 2(n^{2}+n+frac{1}{4}) ight floor=left lfloor 2(n+frac{1}{2})^{2} ight floor$

其次，令$n+ heta =(sqrt{2}^{l}+sqrt{2}^{l-1})m=(1+frac{sqrt{2}}{2})sqrt{2}^{l}m$,$n^{'}+ heta^{'} =(sqrt{2}^{l+1}+sqrt{2}^{l})m=(1+sqrt{2})sqrt{2}^{l}m$

如果$l$为偶数，那么$n+ heta =(1+frac{sqrt{2}}{2})k,n^{'}+ heta^{'} =(1+sqrt{2})k$.所以$ heta =left { frac{sqrt{2}}{2}k ight }, heta^{'} =left { sqrt{2}k ight }$,所以$ heta$和$ heta^{'}$的关系是要么$ heta^{'}=2 heta$($left lfloor sqrt{2}k ight floor$为偶数)，要么$ heta^{'}=2 heta-1$($left lfloor sqrt{2}k ight floor$为奇数)；

如果$l$为奇数，那么$n+ heta =(1+sqrt{2})k,n^{'}+ heta^{'} =(2+sqrt{2})k$,这时候$ heta = heta^{'}$

最后,假设要证明的式子成立，那么$n^{'}=left lfloor sqrt{2n(n+1)} ight floor$

$=left lfloor sqrt{left lfloor 2(n+frac{1}{2})^{2} ight floor} ight floor$

$=left lfloor sqrt{2}(n+frac{1}{2}) ight floor$ (这一步参见公式$3.9$)

$=left lfloor sqrt{2}left ( (1+frac{sqrt{2}}{2})sqrt{2}^{l}m - heta +frac{1}{2} ight ) ight floor$

$=left lfloor n^{'}+ heta^{'}+sqrt{2}(frac{1}{2}- heta) ight floor$

所以只要证明$0leq heta^{'}+sqrt{2}(frac{1}{2}- heta)<1$

首先当$ heta= heta^{'}$时成立，

其次，如果$ heta^{'}=2 heta-d$时($d=0$或者$d=1$)，那么$0leq heta^{'}+sqrt{2}(frac{1}{2}- heta)<1$

$Leftrightarrow 0leq heta^{'}+sqrt{2}(frac{1}{2}-frac{ heta^{'} +d}{2})<1$

$Leftrightarrow 0leq heta^{'}(2-sqrt{2})+sqrt{2}(1-d)<2$

最后这个式子明显成立

（2）由于$Spec(1+frac{sqrt{2}}{2}),Spec(1+sqrt{2})$是一个划分，所以对于任何一个$a$一定存在唯一的$(l,m)$使得$a=(sqrt{2}^{l}+sqrt{2}^{l-1})m$,这时候$L_{n}=left lfloorleft (  sqrt{2}^{l+n} -sqrt{2}^{l+n-1} ight )m ight floor$

47 (1) $c=-frac{1}{2}$ (2)$c$是整数（3）$c=0$（4）$c$可以为任意值。

48 令$x^{:0}=1,x^{:(k+1)}=xleft lfloor x^{:k} ight floor,a_{k}=left { x^{:k} ight },b_{k}=left lfloor x^{:k} ight floorRightarrow a_{k}+b_{k}=x^{:k}=xb_{k-1}$

所以$(1-xz)(1+b_{1}z+b_{2}z^{2}+...)=1-a_{1}z-a_{2}z^{2}-...Rightarrow frac{1}{1-xz}=frac{1+b_{1}z+b_{2}z^{2}+...}{1-a_{1}z-a_{2}z^{2}-...}$

对上面的式子两边求$log$并且对$z$求导可以得到$frac{x}{1-xz}=frac{a_{1}+2a_{2}z+3a_{3}z^{2}+...}{1-a_{1}z-a_{2}z^{2}-...}+frac{b_{1}+2b_{2}z+3b_{3}z^{2}+...}{1+b_{1}z+b_{2}z^{2}-...}$

利用公式$frac{1}{1-z}=1+z+z^{2}+z^{3}+...$分别展开上面式子的左右两侧，可以得到左侧$z^{n-1}$的系数为$x^{n}$,右侧与$z^{n-1}$($n=3$)相关的展开为$(a_{1}+2a_{2}z+3a_{3}z^{2})left ( 1+(a_{1}z+a_{2}z^{2})+(a_{1}z+a_{2}z^{2})^{2} ight )+(b_{1}+2b_{2}z+3b_{3}z^{2})left ( 1-(b_{1}z+b_{2}z^{2})+(b_{1}z+b_{2}z^{2})^{2} ight )=(a_{1}+2a_{2}z+3a_{3}z^{2})left ( 1+a_{1}z+(a_{1}^{2}+a_{2})z^{2} ight )+(b_{1}+2b_{2}z+3b_{3}z^{2})left ( 1-b_{1}z+(b_{1}^{2}-b_{2})z^{2} ight )$

可以得到$z^{2}$的系数为$a_{1}(a_{1}^{2}+a_{2})+2a_{1}a_{2}+3a_{3}+b_{1}(b_{1}^{2}-b_{2})-2b_{1}b_{2}+3b_{3}=3(a_{3}+b_{3})+3a_{1}a_{2}+a_{1}^{3}-3b_{1}b_{2}+b_{1}^{3}$

所以可以证明$n=3$时成立。

49 $left lfloor nalpha ight floor+left lfloor neta ight floor$

$=left lfloor nalpha ight floor+left lfloor n(left lfloor eta ight floor+left { eta ight }) ight floor$

$=left lfloor nalpha ight floor+nleft lfloor eta ight floor+left lfloor nleft { eta ight } ight floor$

$=left lfloor nleft { eta ight } ight floor+left lfloor n(alpha+left lfloor eta ight floor) ight floor$

所以令$alpha^{'}=left { eta ight },eta^{'}=alpha+left lfloor eta ight floor$可以得到完全相同的集合。所以$alpha=left { eta ight }$

并且，如果$alpha=left { eta ight }$,令$m=left lfloor eta ight floor,S=left { left lfloor nalpha ight floor+left lfloor neta ight floor-mn|n>0 ight }=left { 2left lfloor nalpha ight floor|n>0 ight }$

所以$S$中相邻两个元素的差值要么是0要么是2，所以$frac{1}{2}S=Spec(alpha)$进而可以确定$alpha$

50 书中给出的解释是$alpha eta ,eta ,1$在有理数上线性独立，也就是说不存在有理数$frac{p}{q},frac{m}{n}$使得$1=frac{p}{q}alphaeta+frac{m}{n}eta$。如何证明完全不懂。

51 题目中的证明：

（1）令$g(n)=Z_{n}^{-2^{n}}>0$，因为$frac{g(n)}{g(n-1)}=frac{Z_{n}^{-2^{n}}}{Z_{n-1}^{-2^{n-1}}}=frac{(Z_{n-1}^{2}-1)^{-2^{n}}}{Z_{n-1}^{-2^{n-1}}}<frac{(Z_{n-1}^{2})^{-2^{n}}}{Z_{n-1}^{-2^{n-1}}}=1$，所以$g(n)$是减函数，所以$f(x)^{2^{n}}<Z_{n}$

(2)令$p(n)=(Z_{n}-1)^{-2^{n}}$,将$p(n),p(n-1)$两边同时取$2^{n+1}$，可以得到$p(n)$是增函数，所以$f(x)^{2^{n}}>Z_{n}-1$

$f(x)$其他的性质不知道。

52 首先题目中的描述貌似应该是$alpha_{1}>alpha_{2}>...>alpha_{m}$

$Spec(7;-3)igcup Spec(frac{7}{2};-1)igcup Spec(frac{7}{4};0)$是已知的$alpha$是有理数的一组解。所以题目中给出的证明有可能是成立的。

53 有些数字好像很快就找到了，比如

$frac{2}{5}=frac{1}{3}+frac{1}{15},frac{2}{7}=frac{1}{5}+frac{1}{13}+frac{1}{115}+frac{1}{10465},frac{3}{11}=frac{1}{5}+frac{1}{15}+frac{1}{165}$