线性代数选讲
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线性代数和矩阵
线性空间和几何的关系
线性空间是一些向量的几何, 可以做加减, 分配率等操作
如何做计算?
基是线性空间里的一组向量, 使得任何一个向量可以唯一的表示成这组向量的线性组合.
有了基, 向量就可以表示成一个点(a, b)
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矩阵变换和特征值
线性变换就引入了矩阵,
从低维空间到高位空间的映射, 因为 a 是一个基, b 是一个基, 因此如果有一个映射函数 T, 那么就存在 T(a) = bA
同样也可以进行高维对低微的映射, 把平面压成一条线, 类似于投影
对于不同的基, 进行变换, 这两个矩阵是存在关系的
不同的基得到不同的矩阵 -
分类理论
相似变换, 行列式, 相似变化下, 行列式是不变的, 迹也是不变的,秩也是不变的 特征值也是不变的, 为什么求特征值
相似不变量的最重要的量是特征值
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二次型
二次型是一个度量, 这样可以求任何基下面的度量(长度)
两个矩阵描述同一个度量
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正交相似的标准型
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奇异值分解
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应用举例:PCA
当数据维度很大的时候, 如果我们相信大部分的变量之间存在线性关系,那么我们相信降低维数,用较少的变量来抓住大部分的信息
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参考资料