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  • 剑指offer 数组中的逆序对

    题目:

    在数组中的两个数字,如果前面一个数字大于后面的数字,则这两个数字组成一个逆序对。输入一个数组,求出这个数组中的逆序对的总数P。并将P对1000000007取模的结果输出。 即输出P%1000000007

    输入描述:

    题目保证输入的数组中没有的相同的数字

    数据范围:

    对于%50的数据,size<=10^4

    对于%75的数据,size<=10^5

    对于%100的数据,size<=2*10^5

    示例1

    输入

    1,2,3,4,5,6,7,0

    输出

    7

    代码:

     1 class Solution {
     2 public:
     3     int InversePairs(vector<int> data) {
     4        int length=data.size();
     5         if(length<=0)
     6             return 0;
     7        vector<int> copy;
     8        for(int i=0;i<length;i++)
     9            copy.push_back(data[i]);
    10        long long count=InversePairsCore(data,copy,0,length-1);
    11        //delete[]copy;
    12        return count%1000000007;
    13     }
    14     long long InversePairsCore(vector<int> &data,vector<int> &copy,int start,int end)
    15     {
    16        if(start==end)
    17           {
    18             copy[start]=data[start];
    19             return 0;
    20           }
    21        int length=(end-start)/2;
    22        long long left=InversePairsCore(copy,data,start,start+length);
    23        long long right=InversePairsCore(copy,data,start+length+1,end); 
    24         
    25        int i=start+length;
    26        int j=end;
    27        int indexcopy=end;
    28        long long count=0;
    29        while(i>=start&&j>=start+length+1)
    30           {
    31              if(data[i]>data[j])
    32                 {
    33                   copy[indexcopy--]=data[i--];
    34                   count=count+j-start-length;          //count=count+j-(start+length+1)+1;
    35                 }
    36              else
    37                 {
    38                   copy[indexcopy--]=data[j--];
    39                 }          
    40           }
    41        for(;i>=start;i--)
    42            copy[indexcopy--]=data[i];
    43        for(;j>=start+length+1;j--)
    44            copy[indexcopy--]=data[j];       
    45        return left+right+count;
    46     }
    47 };

    我的笔记:

      看到这个题目,我们的第一反应是顺序扫描整个数组。每扫描到一个数组的时候,逐个比较该数字和它后面的数字的大小。如果后面的数字比它小,则这两个数字就组成了一个逆序对。假设数组中含有n个数字。由于每个数字都要和O(n)这个数字比较,因此这个算法的时间复杂度为O(n^2)。
    我们以数组{7,5,6,4}为例来分析统计逆序对的过程。每次扫描到一个数字的时候,我们不拿ta和后面的每一个数字作比较,否则时间复杂度就是O(n^2),因此我们可以考虑先比较两个相邻的数字。
    (a) 把长度为4的数组分解成两个长度为2的子数组;
    (b) 把长度为2的数组分解成两个成都为1的子数组;
    (c) 把长度为1的子数组 合并、排序并统计逆序对 ;
    (d) 把长度为2的子数组合并、排序,并统计逆序对;
    在上图(a)和(b)中,我们先把数组分解成两个长度为2的子数组,再把这两个子数组分别拆成两个长度为1的子数组。接下来一边合并相邻的子数组,一边统计逆序对的数目。在第一对长度为1的子数组{7}、{5}中7大于5,因此(7,5)组成一个逆序对。同样在第二对长度为1的子数组{6}、{4}中也有逆序对(6,4)。由于我们已经统计了这两对子数组内部的逆序对,因此需要把这两对子数组 排序 如上图(c)所示, 以免在以后的统计过程中再重复统计。
    接下来我们统计两个长度为2的子数组子数组之间的逆序对。合并子数组并统计逆序对的过程如下图如下图所示。
    我们先用两个指针分别指向两个子数组的末尾,并每次比较两个指针指向的数字。如果第一个子数组中的数字大于第二个数组中的数字,则构成逆序对,并且逆序对的数目等于第二个子数组中剩余数字的个数,如下图(a)和(c)所示。如果第一个数组的数字小于或等于第二个数组中的数字,则不构成逆序对,如图b所示。每一次比较的时候,我们都把较大的数字从后面往前复制到一个辅助数组中,确保 辅助数组(记为copy) 中的数字是递增排序的。在把较大的数字复制到辅助数组之后,把对应的指针向前移动一位,接下来进行下一轮比较。
    过程:先把数组分割成子数组,先统计出子数组内部的逆序对的数目,然后再统计出两个相邻子数组之间的逆序对的数目。在统计逆序对的过程中,还需要对数组进行排序。如果对排序算法很熟悉,我们不难发现这个过程实际上就是归并排序。
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/john1015/p/13080815.html
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