狄拉克δ函数的导数

原文见 Physics Pages

狄拉克δ函数的图像像个钉子，如下图所示，谈论他的导数好像比较奇怪。

δ函数

我们从狄拉克δ函数的积分性质开始它的导数。狄拉克δ函数具有如下性质：

egin{equation}
int_{-infty}^{infty} f(x)delta(x)mathrm dx=f(0)
label{eq1}
end{equation}

狄拉克δ函数的(n)阶导数为(delta^{(n)}(x))，做如下分部积分

egin{equation}
int_{-infty}^{infty} f(x)delta^{(n)}(x)mathrm dx=f(x)delta^{{(n-1)}(x)iglvert_{-infty}}{infty}-int_{-infty}^{infty} f'(x)delta^{(n-1)}(x)mathrm dx
label{eq2}
end{equation}

第一项是0，因为狄拉克δ函数在(x eq 0)的地方是常数0，因此导数也为0。于是我们有

egin{equation}
int_{-infty}^{infty} f(x)delta^{(n)}(x)mathrm dx=-int_{-infty}^{infty} f'(x)delta^{(n-1)}(x)mathrm dx
label{eq3}
end{equation}

上式对任意函数(f(x))都成立，因此两边被积函数相等，

egin{equation}
f(x)delta^{(n)}(x)mathrm dx=- f'(x)delta^{(n-1)}(x)mathrm dx
label{eq4}
end{equation}

对于一阶导数有

egin{equation}
f(x)delta'(x)mathrm dx=- f'(x)delta(x)mathrm dx
label{eq5}
end{equation}

如果(f(x)=x)，有

egin{equation}
xdelta'(x)mathrm dx=- delta(x)mathrm dx
label{eq6}
end{equation}

将eqref{eq4}迭代下去，得

egin{equation}
f(x)delta^{(n)}(x)mathrm dx=(-1)^n delta(x)prod_{k=1}^nf{(k)}(x)
label{eq7}
end{equation}

例1 令(f(x)=4x^2-1)，有

egin{equation}
int_{-infty}^{infty} (4x^2-1)delta'(x-3)mathrm dx=-int_{-infty}^{infty} 8xdelta(x-3)mathrm dx=-24
label{eq8}
end{equation}

例2 令(f(x)=x^n)，由eqref{eq7}式有

egin{equation}
x^ndelta{(n)}(x)mathrm dx=(-1)^n n!delta(x)
label{eq9}
end{equation}