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  • 顺磁自旋模型的状态数和熵

    原文:Eric Bertin, A concise Introduction to the Statistical Physics of Complex Systems

    考虑一个顺磁模型,各自旋彼此独立,只与一均匀外场有相互作用,外场强度为(h)。体系能量为

    egin{equation} E=-hsum_{i=1}^N s_i,quad s_i=pm 1 label{energy} end{equation}

    相空间(也即构型空间)由集合({ s_i }_{i=1,cdots,N})给出。

    问给定能量(E),体系有多少个构型?

    能量(E)给定,也即给定磁化强度(M=sum_{i=1}^N s_i)。设自旋取值为(+1)(也称自旋向上)的自旋数为(N_+),则磁化强度为(M=N_+-(N-N_+)),所以给定(M)也即给定(N_+),于是由基本的排列组合公式知识,构型数为

    egin{equation} Omega = frac{N!}{N_+!(N-N_+)!} label{Omega} end{equation}

    egin{equation} N_+ = frac{1}{2}left ( N-frac{E}{h} ight ) label{Np} end{equation}

    将此式代入eqref{Omega},可以将(Omega)表示为(E)的函数:

    egin{equation} Omega (E) = frac{N!}{left [frac{1}{2}(N-E/h) ight ]!left [frac{1}{2}(N+E/h) ight ]!} label{OmegaE} end{equation}

    熵为

    egin{equation} egin{split} S(E)=&lnOmega (E) \ =& ln N! -ln left [frac{1}{2}(N-E/h) ight ]! -ln left [frac{1}{2}(N+E/h) ight ]! end{split} label{Entropy} end{equation}

    如果(N)很大,满足斯特灵公式

    egin{equation} ln N! approx Nln N-N label{Stirling} end{equation}

    代入eqref{Entropy},得

    egin{equation} S(E)= Nln N-frac{N+E/h}{2}ln frac{N+E/h}{2} - frac{N-E/h}{2}ln frac{N-E/h}{2} label{EntropyE} end{equation}

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/joyfulphysics/p/6035402.html
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