顺磁自旋模型的状态数和熵

原文：Eric Bertin, A concise Introduction to the Statistical Physics of Complex Systems

考虑一个顺磁模型，各自旋彼此独立，只与一均匀外场有相互作用，外场强度为(h)。体系能量为

egin{equation} E=-hsum_{i=1}^N s_i,quad s_i=pm 1 label{energy} end{equation}

相空间（也即构型空间）由集合({ s_i }_{i=1,cdots,N})给出。

问给定能量(E)，体系有多少个构型？

能量(E)给定，也即给定磁化强度(M=sum_{i=1}^N s_i)。设自旋取值为(+1)（也称自旋向上）的自旋数为(N_+)，则磁化强度为(M=N_+-(N-N_+))，所以给定(M)也即给定(N_+)，于是由基本的排列组合公式知识，构型数为

egin{equation} Omega = frac{N!}{N_+!(N-N_+)!} label{Omega} end{equation}

又

egin{equation} N_+ = frac{1}{2}left ( N-frac{E}{h} ight ) label{Np} end{equation}

将此式代入eqref{Omega}，可以将(Omega)表示为(E)的函数：

egin{equation} Omega (E) = frac{N!}{left [frac{1}{2}(N-E/h) ight ]!left [frac{1}{2}(N+E/h) ight ]!} label{OmegaE} end{equation}

熵为

egin{equation} egin{split} S(E)=&lnOmega (E) \ =& ln N! -ln left [frac{1}{2}(N-E/h) ight ]! -ln left [frac{1}{2}(N+E/h) ight ]! end{split} label{Entropy} end{equation}

如果(N)很大，满足斯特灵公式：

egin{equation} ln N! approx Nln N-N label{Stirling} end{equation}

代入eqref{Entropy}，得

egin{equation} S(E)= Nln N-frac{N+E/h}{2}ln frac{N+E/h}{2} - frac{N-E/h}{2}ln frac{N-E/h}{2} label{EntropyE} end{equation}