乘法逆元详解

1. 什么是乘法逆元？

百度百科上是这样解释的：

乘法逆元，是指数学领域群 G 中任意一个元素 a ，都在 G 中有唯一的逆元 a'，具有性质 a×a'=a'×a=e，其中 e 为该群的单位元。

不用看了，我知道你看不懂

逆元其实很简单，

若 (acdot xequiv1 pmod {p})，（一般 (p) 为质数）

则称 (x) 为 (a) 对 (p) 的逆元，记为 (operatorname{inv}(x)=a)。

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2. 乘法逆元能干嘛？

逆元一般用来求形如 (frac{a}{b} mod p) 的式子的值，

设 (k) 为 (b) 对 (p) 的逆元，则有 (frac{a}{b} mod p=akmod p) 。

下面来看看这个式子是怎么推导的。

设 (k) 为 (b) 对 (p) 的逆元，即 (bkmod p=1)，有：

[egin{align*} frac{a}{b}mod p &=left(frac{a}{b}mod p ight)cdot 1\ &=left(frac{a}{b}mod p ight)left(bkmod p ight)\ &=left(frac{a}{b}cdot bk ight)mod p\ &= akmod p end{align*} ]

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3. 逆元怎么求？

(1) exgcd

还记得这个式子吗？(axequiv 1 pmod {p})，

这个式子可以转化为 (ax+py={1})，（(yinmathbb{Z})）

这个时候就可以用 exgcd 来求逆元，

时间复杂度大约为 (mathcal O(log n)) 。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
void exgcd(int &x,int &y,int a,int b)
{
    if(!b)
    {
        x=1,y=0;
        return;
    }
    exgcd(x,y,b,a%b);
    int t=x;
    x=y;
    y=t-a/b*y;
}
int main()
{
    int n,p;//求n关于p的逆元
    scanf("%d %d",&n,&p);
    int x=0,y=0;
    exgcd(x,y,n,p);
    printf("%d",(x%p+p)%p);
    return 0;
}

(2) 费马小定理

费马小定理：若 (p) 为素数，(ainmathbb{Z^+})，且 (a)、(p) 互质，则有 (a^{p-1}equiv 1(mod{p}))。

这时发现上式和式子 (axequiv 1 pmod {p}) 的右边部分都为 (1)，

所以，(axequiv a^{p-1}pmod p)，

化简得 (xequiv a^{p-2} pmod p)。

如果 (a^{p-2}) 用快速幂计算，时间复杂度将和 exgcd 同级，为 (mathcal O(log n))。

code:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int FastPow(int a,int n,int mod)
{
    int base=a,ans=1;
    while(n)
    {
        if(n&1) ans=(base*ans)%mod;
        base=(base*base)%mod;
        n>>=1;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    int n,p;//求n关于p的逆元
    scanf("%d %d",&n,&p);
    printf("%d",FastPow(n,p-2,p));
    return 0;
}

(3) 逆元的线性递推式

此处参考 https://zhuanlan.zhihu.com/p/100587745?utm_source=qq。

例如洛谷P3811，要求求区间 ([1,n]) 的所有数的逆元，这个时候， exgcd 和费马小定理都显得有些“笨”。于是，就有了线性递推式。

假设我们现在想求 (a) 的逆元，为了方便之后的推导，我们将 (p) 表示成这样的形式： (p=aq+r)。

此处，(q=lfloor p/a floor,r=pmod a)。

容易看出，(aq+requiv 0pmod p)。

移项整理可得 (aequiv -rcdot operatorname{inv}(q)pmod p)。

两边同时取倒数，得出 (operatorname{inv}(a)equiv -qcdot operatorname{inv}(r)pmod p)。

再将 (q=lfloor p/a floor,r=pmod a) 代入，我们就得到了逆元的递推式 (operatorname{inv}(a)equiv -lfloor p/a floorcdot operatorname{inv}(pmod a)pmod p)。

我们发现，式子中的 (-lfloor p/a floor) 有可能是负数，所以我们给它加一个 (p)。

所以，最终的递推式为：

[operatorname{inv}(a)equiv (p-lfloor p/a floor)cdot operatorname{inv}(pmod a)pmod p ]

真正实现的时候，将 (equiv) 当作 (=) 即可。

然后就可以实现 (mathcal O(n)) 递推啦。

code:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=10000010;
int n,p,inv[N];
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&p);
    inv[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
        inv[i]=(p-p/i)*inv[p%i]%p;
    printf("%d",inv[n]);
    return 0;
}

4.参考资料

https://blog.csdn.net/yu121380/article/details/81188274

https://www.luogu.com.cn/blog/zjp-shadow/cheng-fa-ni-yuan

https://www.cnblogs.com/song-/p/9724555.html

https://zhuanlan.zhihu.com/p/100587745?utm_source=qq