代数摁算
[egin{vmatrix}
A&0\
-E& B
end{vmatrix}
=|A||B|\
egin{vmatrix}
a_{11}&a_{12}&…&a_{1n}&0&0&…&0\
a_{21}&a_{22}&…&a_{2n}&0&0&…&0\
vdots&vdots&ddots&vdots&vdots&vdots&…&vdots\
a_{n1}&a_{n_2}&…&a_{nn}&0&0&…&0\
-1&0&…&0&b_{11}&b_{12}&…&b_{1n}\
0&-1&…&0&b_{21}&b_{22}&…&b_{2n}\
vdots&vdots& &vdots&vdots&vdots& &vdots\
0&0&…&-1&b_{n1}&b_{n2}&…&b_{nn}
end{vmatrix}
]
把第(n+1)行的(a_{11})倍加到(1)行，第(n+2)行的(a_{12})倍加到第(1)行……第(n+n)行的(a_{1n})倍加到第(1)行
(……)
[egin{vmatrix}
0&0&…&0&sum_{k=1}^{n}a_{1k}{k1}&sum_{k=1}^{n}a_{2k}{k2}&…&sum_{k=1}^{n}a_{nk}{kn}\
a_{21}&a_{22}&…&a_{2n}&0&0&…&0\
vdots&vdots&ddots&vdots&vdots&vdots&…&vdots\
a_{n1}&a_{n_2}&…&a_{nn}&0&0&…&0\
-1&0&…&0&b_{11}&b_{12}&…&b_{1n}\
0&-1&…&0&b_{21}&b_{22}&…&b_{2n}\
vdots&vdots& &vdots&vdots&vdots& &vdots\
0&0&…&-1&b_{n1}&b_{n2}&…&b_{nn}
end{vmatrix}
]
再把第(n+1)行的(a_{i,1})倍加到第(i)行，第(n+2)行的第(a_{i,2})倍加到第(i)行……第(n+n)行的(a_{i,n})倍加到第(i)行
其中，(i=2,3,…,n)
[egin{vmatrix}
0&0&…&0&sum_{k=1}^{n}a_{1k}b_{k1}&sum_{k=1}^{n}a_{1k}b_{k2}&…&sum_{k=1}^{n}a_{1k}b_{kn}\
0&0&…&0&sum_{k=1}^{n}a_{2k}b_{k1}&sum_{k=1}^{n}a_{2k}b_{k2}&…&sum_{k=1}^{n}a_{2k}b_{kn}\
vdots&vdots&ddots&vdots&vdots&vdots&…&vdots\
0&0&…&0&sum_{k=1}^{n}a_{nk}b_{k2}&sum_{k=1}^{n}a_{nk}b_{k2}&…&sum_{k=1}^{n}a_{nk}b_{kn}\
-1&0&…&0&b_{11}&b_{12}&…&b_{1n}\
0&-1&…&0&b_{21}&b_{22}&…&b_{2n}\
vdots&vdots& &vdots&vdots&vdots& &vdots\
0&0&…&-1&b_{n1}&b_{n2}&…&b_{nn}
end{vmatrix}\
=
egin{vmatrix}
0&AB\
-E&B
end{vmatrix}\
=|AB|
]
几何胡扯
(n)阶段矩阵(A)表示对(n)阶空间一组线性基(E)的线性变换，其中(E)的向量组成的(n)维超立方体的体积为(1)
(A)的行列式(|A|)表示经过线性变换(A)后，基围成的体积的变化情况
如(|AE|)表示(E)的正交基向量变为(A)中的(n)行列向量，基向量围成的(n)维立方体体积变为(|A|)倍
(|ABE|=1*|B|*|A|=1*|A|*|B|=|BAE|=|BA|)