礼物的最大值（Python and C++解法）

题目：

　　在一个 m*n 的棋盘的每一格都放有一个礼物，每个礼物都有一定的价值（价值大于 0）。你可以从棋盘的左上角开始拿格子里的礼物，并每次向右或者向下移动一格、直到到达棋盘的右下角。给定一个棋盘及其上面的礼物的价值，请计算你最多能拿到多少价值的礼物？

示例 1:

输入:
[
  [1,3,1],
  [1,5,1],
  [4,2,1]
]
输出: 12
解释: 路径 1→3→5→2→1 可以拿到最多价值的礼物

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/li-wu-de-zui-da-jie-zhi-lcof

思路：

　　使用动态规划解决。

　　状态定义：设动态规划矩阵 maxStore，maxStore[i][j]代表从棋盘的左上角开始，到达单元格(i,j)时能拿到礼物的最大累计价值。

　　转移方程：当 i = 0且 j = 0时，为起始元素；

　　　　　　　当 i=0 且 j > ​0 时，为矩阵第一行元素，只可从左边到达；

　　　　　　　当 i > 0 且 j = 0 时，为矩阵第一列元素，只可从上边到达；

　　　　　　　当 i > 0 且 j > 0 时，可从左边或上边到达；

Python解法：

class Solution:
    def maxValue(self, grid: List[List[int]]) -> int:
        rows, columns = len(grid), len(grid[0])
        if rows == 0 or columns == 0:
            return 0
        maxStore =[[0] * columns] * rows
        for i in range(rows):
            for j in range(columns):
                if i == 0 and j == 0:  # 起点
                    maxStore[0][0] = grid[0][0]  
                if i == 0 and j > 0:  # 第一行只能从左往右
                    maxStore[0][j] = maxStore[0][j-1] + grid[0][j]
                if j == 0 and i > 0:  # 第一列只能从上往下
                    maxStore[i][0] = maxStore[i-1][0] + grid[i][0]
                if i > 0 and j > 0:
                    maxStore[i][j] = max(maxStore[i-1][j], maxStore[i][j-1]) + grid[i][j] 
        return maxStore[rows-1][columns-1]

C++解法：

class Solution {
public:
    int maxValue(vector<vector<int>>& grid) {
        int rows = grid.size(), columns = grid[0].size();
        if(rows == 0 && columns == 0)
            return 0;
        // 二维vector初始化方法!!!!!!!!
        vector<vector<int>> maxStore(rows, vector<int>(columns, 0));  
        for(int i = 0; i< rows; i++) {
            for(int j = 0; j < columns; j++) {
                if(i == 0 && j == 0)
                    maxStore[0][0] = grid[0][0];
                if(i == 0 && j > 0)
                    maxStore[0][j] = maxStore[0][j-1] + grid[0][j];
                if(i > 0 && j == 0)
                    maxStore[i][0] = maxStore[i-1][0] + grid[i][0];
                if(i > 0 && j > 0)
                    maxStore[i][j] = max(maxStore[i-1][j], maxStore[i][j-1]) + grid[i][j];
            }
        }
        return maxStore[rows-1][columns-1];
    }
};