今天来聊一道简单却十分巧妙的算法问题：算出一共有几个和为 k 的子数组。
那我把所有子数组都穷举出来，算它们的和，看看谁的和等于 k 不就行了。
关键是，如何快速得到某个子数组的和呢，比如说给你一个数组 nums，让你实现一个接口 sum(i, j)，这个接口要返回 nums[i..j] 的和，而且会被多次调用，你怎么实现这个接口呢？
因为接口要被多次调用，显然不能每次都去遍历 nums[i..j]，有没有一种快速的方法在 O(1) 时间内算出 nums[i..j] 呢？这就需要前缀和技巧了。
一、什么是前缀和
前缀和的思路是这样的，对于一个给定的数组 nums，我们额外开辟一个前缀和数组进行预处理：
int n = nums.length;
// 前缀和数组
int[] preSum = new int[n + 1];
preSum[0] = 0;
for (int i = 0; i < n; i++)
preSum[i + 1] = preSum[i] + nums[i];
这个前缀和数组 preSum 的含义也很好理解，preSum[i] 就是 nums[0..i-1] 的和。那么如果我们想求 nums[i..j] 的和，只需要一步操作 preSum[j+1]-preSum[i] 即可，而不需要重新去遍历数组了。
回到这个子数组问题，我们想求有多少个子数组的和为 k，借助前缀和技巧很容易写出一个解法：
int subarraySum(int[] nums, int k) {
int n = nums.length;
// 构造前缀和
int[] sum = new int[n + 1];
sum[0] = 0;
for (int i = 0; i < n; i++)
sum[i + 1] = sum[i] + nums[i];
int ans = 0;
// 穷举所有子数组
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 0; j < i; j++)
// sum of nums[j..i-1]
if (sum[i] - sum[j] == k)
ans++;
return ans;
}
这个解法的时间复杂度 (O(N^2)) 空间复杂度 (O(N))，并不是最优的解法。不过通过这个解法理解了前缀和数组的工作原理之后，可以使用一些巧妙的办法把时间复杂度进一步降低。
二、优化解法
前面的解法有嵌套的 for 循环：
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 0; j < i; j++)
if (sum[i] - sum[j] == k)
ans++;
第二层 for 循环在干嘛呢？翻译一下就是，在计算，有几个 j 能够使得 sum[i] 和 sum[j] 的差为 k。毎找到一个这样的 j，就把结果加一。
我们可以把 if 语句里的条件判断移项，这样写：
if (sum[j] == sum[i] - k)
ans++;
优化的思路是：我直接记录下有几个 sum[j] 和 sum[i] - k 相等，直接更新结果，就避免了内层的 for 循环。我们可以用哈希表，在记录前缀和的同时记录该前缀和出现的次数。
int subarraySum(int[] nums, int k) {
int n = nums.length;
// map：前缀和 -> 该前缀和出现的次数
HashMap<Integer, Integer>
preSum = new HashMap<>();
// base case
preSum.put(0, 1);
int ans = 0, sum0_i = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
sum0_i += nums[i];
// 这是我们想找的前缀和 nums[0..j]
int sum0_j = sum0_i - k;
// 如果前面有这个前缀和，则直接更新答案
if (preSum.containsKey(sum0_j))
ans += preSum.get(sum0_j);
// 把前缀和 nums[0..i] 加入并记录出现次数
preSum.put(sum0_i,
preSum.getOrDefault(sum0_i, 0) + 1);
}
return ans;
}
比如说下面这个情况，需要前缀和 8 就能找到和为 k 的子数组了，之前的暴力解法需要遍历数组去数有几个 8，而优化解法借助哈希表可以直接得知有几个前缀和为 8。
这样，就把时间复杂度降到了 (O(N))，是最优解法了。
三、总结
前缀和不难，却很有用，主要用于处理数组区间的问题。
比如说，让你统计班上同学考试成绩在不同分数段的百分比，也可以利用前缀和技巧：
int[] scores; // 存储着所有同学的分数
// 试卷满分 150 分
int[] count = new int[150 + 1]
// 记录每个分数有几个同学
for (int score : scores)
count[score]++
// 构造前缀和
for (int i = 1; i < count.length; i++)
count[i] = count[i] + count[i-1];
这样，给你任何一个分数段，你都能通过前缀和相减快速计算出这个分数段的人数，百分比也就很容易计算了。
但是，稍微复杂一些的算法问题，不止考察简单的前缀和技巧。比如本文探讨的这道题目，就需要借助前缀和的思路做进一步的优化，借助哈希表去除不必要的嵌套循环。可见对题目的理解和细节的分析能力对于算法的优化是至关重要的。
希望本文对你有帮助。
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