动态规划0-1背包问题

0-1背包问题：

有编号分别为a,b,c,d,e的五件物品，它们的重量分别是2,2,6,5,4，它们的价值分别是6,3,5,4,6，现在给你个承重为10的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？

这个问题用穷举法当然可以做，但是用动态规划所用的时间花销更少。要用一个二维数组存储局部最优值，最后达到总的最优值，可以说是用空间换时间，非常的经典！如果想真正理解动态规划的思想，就把下面的程序的执行过程在自己的脑海中想一遍，结合程序运行结果图好好的思考一下，看看运行结果图里面的二维数组是如何生成的，虽然会花费一些时间，但是理解后对以后的编程是大有裨益的。

直接贴c++代码：

//动态规划 本程序是自底向上自左向右更新最优值
#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{    
    int c=10; //总的承重量，好像没有用到，因为j也可以表示
    int m[6][11]={0}; // 第一行与第一列不用，方便编程，表示需要更新的二维数组
    int w[6]={0,2,2,6,5,4}; //多写个0方便编程，物品的重量
    int v[6]={0,6,3,5,4,6}; //物品的价值
    for(int i=5;i>=1;i--)  //循环五次，动态尝试放入五个物品
        for(int j=1;j<=10;j++)
            {
                if(i==5) //最后一行不依赖其它行更新最优值，因为表示的是第一个放入背包的物品
                    {
                        if(w[5]<=j)
                            {m[i][j]=v[5];}
                    }
                else{
                    if(w[i]>j) //动态规划核心，此式子选择动态更新局部最优值
                        {
                            m[i][j]=m[i+1][j]; //动态规划核心，此式子选择动态更新局部最优值
                        }
                     else
                        {
                            m[i][j] =m[i+1][j]>m[i+1][j-w[i]]+v[i]?m[i+1][j]:m[i+1][j-w[i]]+v[i]; //动态规划核心，此式子选择动态更新局部最优值，
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　//等价于m[i][j]=max{m[i+1][j],m[i+1][j-w[i]]+v[i]}
                        }
                    }
            }
    cout<<m[1][10]<<endl;//输出最大价值总和，因为本程序是自底向上自左向右更新最优值，所以最大价值总和在第一行第十列（右上角）。
    for(int i=1;i<=5;i++) //循环输出更新后的二维数组
        for(int j=1;j<=10;j++){
            cout<<m[i][j];
            cout<<"      ";
            if(j==10)
                cout<<endl;
            }
    return 0;
}

运行效果图以及自底向上自左向右更新后的二维数组如下：最大总价值为15

 至此最大价值我们求出来了是15，还要解决一个问题：有哪些货物是被选进去了呢？这个问题要用回溯法！就是从程序执行末尾开始

从运行结果图可知：m[1][10]=15>m[1+1][10]=11,物品一选中，剩余重量：15-物品一的重量=10-2=8     

　　　　　　　　　m[2][8]=9>m[3][8]=6,物品二选中，剩余重量：8-物品二的重量=8-2=6    //注意到没？m[2][8]中的8就是上一步的剩余重量

　　　　　　　　　m[3][6]=6=m[4][6]=6,物品三没选中，剩余重量：还是6

　　　　　　　　　m[4][6]=6=m[5][6]=6,物品四没选中，剩余重量：还是6

　　　　　　　　　m[5][6]!=0,物品五选中　

　　　　　　　　　综上：所选物品有物品1,2,5总价值为15.