「密码学」-Merkle-Hellman

(Merkle-Hellman)背包密码体制

• 加密：
  选择任何一个超递增集({s_1,s_2,...,s_n})。陷门有任意大于(sum_is_i)的素数(p)和任意小于(p)的整数(a)组成，这两个数和集合({s_1,s_2,...,s_n})都是保密的。公开的整数集是({t_1,t_2,...,t_n}),其中(t_i=a_i*s_i(mod p))。二进制明文((b_1,b_2,...,b_n))的加密操作为(y=sum_ib_it_i)。整数(y)是密文。
• 解密：
  找到(a^{-1}(mod p))。因为(p)是质数，(a^{-1}(mod p))一定存在。计算(a^{-1}y (mod p))。得到(a^{-1}y (mod p))这使得
  (a^{-1}y=a^{-1}sum_ib_it_i(mod p)=sum_ib_i(a^{-1}as_i)(mod p)=sum_ib_is_i)
  因为集合({s_1,s_2,...,s_n})是超递增集，所以很容易定位明文位

超递增集：每一个整数都大于它前面整数之和
陷门：超递增集必须被隐藏在陷门后
(a^{-1}(mod p))：(a^{-1})是a在模(p)的情况下的逆元

习题

• 给定一个超递增集({3,5,11,20,41,81,167,339})和素数(701)以及一个整数(a=223)，构造一个(Merkle-Hellman)加密集({t_i})。对二进制消息((10011101))进行加密；并对密文进行解密。

依题意可知:
(s={3,5,11,20,41,81,167,339})
(p=701,a=223)
(b=(10011101))

加密过程：
根据(t_i=a_i*s_i(mod p))，可以得到(t={669,414,350,254,30,538,88,590})
密文(y=sum_ib_it_i)。可以得到(y=2081)

解密过程：
通过扩展欧几里得可以得到(a)在模(p)的情况下的逆元(a^{-1}=679)
所以(sum_ib_is_i=a^{-1}y=484)
(484=s_1+s_4+s_5+s_6+s_8)
(b=(10011101))

扩展欧几里得：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define INF 0x3f3f3f3f
#define mod 1000000007
using namespace std;
void exgcd(ll a,ll b,ll &gcd,ll &x,ll &y)
{
   if(b==0)
   {
       gcd=a;
       x=1;
       y=0;
   }
   else
   {
       exgcd(b,a%b,gcd,y,x);
       y-=x*(a/b);
   }
}
ll inv(ll a,ll b)
{
   ll gcd,x,y;
   exgcd(a,b,gcd,x,y);
   return gcd==1?(x%b+b)%b:-1;
}
int main( )
{
   ll a,b;
   while(~scanf("%lld%lld",&a,&b))//a是被模数,b是模数,-->a%b
   {
       printf("%lld
",inv(a,b));
   }
   return 0;
}