HZOJ 20190722 visit （组合数学+数论）

考试T2，考试时打了个$O(n^3)$dp暴力，思路还是很好想的，但细节也不少，然后滚动数组没清空，而且题又看错了，只得了10pts，真是血的教训。

题解：

其实看数据范围，给出了模数是否为质数，其实应该能推测出这是道数学题（但是不会推式子啊）

我们仔细分析一下问题，我们设$ri,le,up ,down$分别为向右左上下走的步数，且总步数为T，然后我们只要知道，向一个方向走的步数就能得到其他的，但是我们发现光凭一个是求不出的，我们再转化一下思路，我们设在上下方向走的步数为$k$,则$up+down=k$,然后又因为他最后必须走到$(n,m)$，所以向上走的步数减去向下走的步数为$m$,即$up-down=m$，同理我们可以求出$ri$与$le$的关系，同样是两个方程，这样我们就可以通过枚举$k$，来得到向各个方向走的步数，这样就能列出组合数的式子了，即：

$sum limits_{k=m}^{t-n}C_t^k*C_k^{frac{k-m}{2}}*C_{n-k}^{frac{t-k-n}{2}}$

这题貌似到这里就结束了，但是我们注意到他的模数$p$并不一定是一个质数，所以我们用普通lucas是求不出来的，而ex_lucas又过于难写，且运行慢，其实是因为我不会哪又要怎么办呢，我们看他的数据范围中说模数p分解质因数后的每个质因子的次数都为1，那么我们就可以利用这个性质，先用普通lucas求出答案对每个质因子答案，然后用CRT合并即可。

要注意的几点：对于每个质因子求答案时都要处理一遍阶乘表，不然就会不对

              一定要多取模，尤其是连乘的时候，不然很容易崩

　　　　　　　枚举k时要$k+=2$因为他在上下方向或左右方向的变化量不可能为1

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<queue>
#define int long long
using namespace std;
const int N=305;
int flag=0;int t,n,m;
int dp[N][N][N];
int prime[N],a[N],inv[100005],res[N];
int fac[100005];
int qpow(int a,int b,int p){
    int ans=1;
    while(b){
        if(b&1) ans=ans*a%p;
        b>>=1;
        a=a*a%p;
    }
    return ans%p;
}
int C(int n,int m,int p){
    if(n<m) return 0;
    else return fac[n]%p*qpow(fac[n-m]*fac[m]%p,p-2,p)%p;
}
int lucas(int a,int b,int p){
    if(!b) return 1;
    else return lucas(a/p,b/p,p)%p*C(a%p,b%p,p)%p; 
}
void divide(int p){
    for(int i=2;i<=sqrt(p);i++){
        if(p%i==0){
            flag++;
            prime[flag]=i;
            p/=i;
        }
    }
    if(p>1) prime[++flag]=p;
}
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
    int t;
    if(!b){
        x=1;y=0;return a;
    }
    t=exgcd(b,a%b,x,y);
    t=x;
    x=y;
    y=t-a/b*y;
}
int CRT(){
    int ans=0;
    int M=1;
    for(int i=1;i<=flag;i++) M*=prime[i];
    for(int i=1;i<=flag;i++){
        ans=(ans+M/prime[i]*res[i]%M*qpow(M/prime[i],prime[i]-2,prime[i])%M)%M;
    }
    return ans;
}
int init(int p){
    int minn=min(p-1,t);
    fac[0]=1;
    for(int i=1;i<=minn;i++){
        fac[i]=fac[i-1]*i%p;
    }
}
signed main(){
    int p;
    scanf("%lld%lld%lld%lld",&t,&p,&n,&m);
    m=abs(m);n=abs(n);
    divide(p);
    if(t<=100){
        int dd=105;
        dp[0][dd][dd]=1;
        for(int i=1;i<=t;i++){
            for(int j=-t;j<=t;j++){
                for(int k=-t;k<=t;k++){
                    dp[i][j+dd][k+dd]=(dp[i][j+dd][k+dd]+dp[i-1][j+1+dd][k+dd]+dp[i-1][j+dd][k+1+dd]+dp[i-1][j-1+dd][k+dd]+dp[i-1][j+dd][k-1+dd])%p;
                }
            }
        }
        printf("%lld",dp[t][n+dd][m+dd]);
        return 0;
    }
    int ans=0;
    fac[0]=1;
    //for(int i=1;i<=100005;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%p;
    for(int i=1;i<=flag;i++){
        init(prime[i]);
        for(int k=n;k<=t-m;k+=2){//i+=2
            res[i]=(res[i]+lucas(t,k,prime[i])*lucas(k,(k-n)/2,prime[i])%p*lucas(t-k,(t-m-k)/2,prime[i]))%p;
        }
    }
    printf("%lld",CRT()%p);
}