如何得到多个不同的随机数——洗牌算法

先来思考一个问题：有一个大小为 100 的数组，里面的元素是从 1 到 100 按顺序排列，怎样随机的从里面选择 1 个数？

最简单的方法是利用系统的方法 Math.random() * 100 ，这样就可以拿到一个 0 到 99 的随机数，然后去数组找对应的位置就即可。

接下来在思考一个问题： 有一个大小为100的数组，里面的元素是从 1 到 100 按顺序排列，怎样随机的从里面选择 50 个数？

注意数字不能重复！

如果根据上面的思路，你第一想法是：随机 50 次不就行了？

但是，这样做有个很明显的 bug ：数字是会重复的。

修改一下？

弄一个数组，把每一次随机出来的数与前面的比较，看是否出现过。

这样是可以的！

但，还是有个小问题，考虑一下极端情况：有一个大小为100的数组，里面的元素是从 1 到 100 按顺序排列，怎样随机的从里面选择 99 个数。

如果按照上面的方法操作，越往后选择的数字跟前面已经挑选的数字重复的概率越高，这就会造成如果数组很大，选择的数字数目也很大的话，重复次数在量级上会很大。

这个时候就需要换一个思路，如果先将数组里面的元素打乱，那么按顺序选择前 50 个不就可以了？

是的！

但我们得注意什么叫乱？

一副扑克有 54 张牌，有 54! 种排列方式。所谓的打乱指的是，你所执行的操作，应该能够 等概率地生成 这 54! 种结果中的一种。

洗牌算法就能做到这一点。

洗牌算法

Fisher–Yates shuffle 算法由 Ronald Fisher 和 Frank Yates 于 1938 年提出，在 1964 年由 Richard Durstenfeld 改编为适用于电脑编程的版本。

这个算法很牛逼却很好理解，通俗的解释就是：将最后一个数和前面任意 n-1 个数中的一个数进行交换，然后倒数第二个数和前面任意 n-2 个数中的一个数进行交换。。。

可以证明，这是等概率生成的一个排列。

证明：

第i次选到元素m概率P = 前i-1个位置选择元素时没有选中m的概率 * 第i个位置选中m的概率 连乘可以化成1/n，即

$$frac{n-1}{n} * frac{n-2}{n-1}  cdots frac{i}{i+1} * frac{1}{i} = frac{1}{n}$$

可见与i无关。

 

直观的理解，相当于n个人抽签，跟先后顺序无关，每个人抽到某个元素的概率是相等的。

直观的程序实现是随机一个，将其去除，再随机再去除，去除要耗时，而上面的交换做到了原地、O(1)去除。

 

附：蓄水池算法

为什么写这个算法呢？因为两者的概率计算很相似。

给定一个数据流，数据流长度N很大，且N直到处理完所有数据之前都不可知，请问如何在只遍历一遍数据（O(N)）的情况下，能够随机选取出m个不重复的数据。

这个场景强调了3件事：

1. 数据流长度N很大且不可知，所以不能一次性存入内存。
2. 时间复杂度为O(N)。
3. 随机选取m个数，每个数被选中的概率为m/N。

第1点限制了不能直接取N内的m个随机数，然后按索引取出数据。第2点限制了不能先遍历一遍，然后分块存储数据，再随机选取。第3点是数据选取绝对随机的保证。讲真，在不知道蓄水池算法前，我想破脑袋也不知道该题做何解。

网上的解释没看懂，还是直接看代码吧

int[] reservoir = new int[m];

// init
for (int i = 0; i < reservoir.length; i++)
{
    reservoir[i] = dataStream[i];
}

for (int i = m; i < dataStream.length; i++)
{
    // 随机获得一个[0, i]内的随机整数
    int d = rand.nextInt(i + 1);
    // 如果随机整数落在[0, m-1]范围内，则替换蓄水池中的元素
    if (d < m)
    {
        reservoir[d] = dataStream[i];
    }
}

我们来计算第i个最终落在蓄水池的概率，分两种情况：

$i > m$，$P(i最终落在蓄水池) = frac{m}{i+1} * frac{i+1}{i+2} * frac{i+2}{i+3} cdots frac{n-1}{n} = frac{m}{n}$（即第i次被换进去，之后都没有被换出来），是不是和上面的公式一摸一样。

另一种情况，i初始就在蓄水池，则$P(i最终落在蓄水池) = frac{m}{m+1} * frac{m+1}{m+2} cdots * frac{n-1}{n} = frac{m}{n}$（即每次都不被换出去）

因此，每个元素最终落在蓄水池的概率都是 $frac{m}{n}$.

 

 

 

参考链接：

1. https://www.zhihu.com/question/358255792

2. https://www.jianshu.com/p/7a9ea6ece2af