sigma 坐标变换
一般 (sigma) 坐标转换方程为
[sigma = frac{z-eta}{D} = frac{z-eta}{H+eta}
]
转换后水深 z 范围由原始的 ([-H, eta]) 变为 (sigma in [-1,0])，将这组坐标转换定义为 X = G(x)，即
[G(x,y,z) = (x^*, y^*, sigma^*)
]
(sigma) 坐标转换后碰到最主要问题就是，在原始 z 坐标方程中各个微分项如何变化？
水平压力梯度
以水平压力梯度计算为例，设函数 (F(x,y,z)) 为 z 坐标内压力场，F*为对应 (sigma) 坐标内函数形式，即
[egin{array}{c}
left[x,y,z
ight] = G(x^*, y^*, sigma^*) cr
F(x,y,z) = F^*(x^*,y^*,sigma^*)
end{array}]
F 在z坐标内水平梯度为 (
abla F = (frac{partial F}{partial x}, frac{partial F}{partial y}))，我们来看其中 x 分量的计算
[frac{partial F}{partial x} = lim frac{F(x_0+Delta x, y_0, z_0) - F(x_0, y_0, z_0)}{Delta x}
]
为了在 (sigma) 坐标内表示上述极限形式方程，就应该寻找函数 (F(x_0+Delta x, y_0, z_0)) 与 (F(x_0, y_0, z_0)) 在 (sigma) 坐标内表示形式。
sigma 坐标内水平梯度
若
[egin{array}{c}
left[x,y,z
ight] = G(x^*, y^*, sigma^*) cr
F(x,y,z) = F^*(x^*,y^*,sigma^*)
end{array}]
那么当 z 坐标内此点 x 坐标有增量 (Delta x^*) 时，对应压力场的值
[egin{array}{c}
left[x+Delta x,y,z
ight] = G(x^*+Delta x^*, y^*, sigma^*+Delta sigma^*) cr
F(x+Delta x,y,z) = F^*(x^*+Delta x^*, y^*, sigma^*+Delta sigma^*)
end{array}]
为什么 x 增加增量后，对应 (sigma) 坐标内垂向坐标 (sigma^*) 也会产生增量？这个增量大小 (Delta sigma) 是多少？
首先我们看 (sigma) 坐标转换方程
[sigma^*(x,y) = frac{z-eta}{D}=frac{z-eta(x,y,t)}{H(x,y)+eta(x,y,t)}
]
由于 (eta, H) 都是 x 和 y 的函数，因此对应的 (sigma) 也是与 x 和 y 相关的。所以若 (x_0) 增加增量 (Delta x) 后，对应 (sigma^*) 也会产生增量
[Delta sigma^* = frac{partial sigma^*}{partial x} Delta x
]
其中 (frac{partial sigma^*}{partial x}) 可以根据 (sigma^*) 表达式计算
[frac{partial sigma^*}{partial x} = frac{-frac{partial eta}{
partial x}D - (z-eta)frac{partial D}{
partial x} }{D^2} = -left( frac{1}{D}frac{partial eta}{
partial x} + frac{sigma}{D}frac{partial D}{
partial x}
ight)]
同时利用
[egin{array}{l}
F^*(x^*+Delta x^*, y^*, sigma^*+Delta sigma^*) cr
=F^*(x^*+Delta x^*, y^*, sigma^*+Delta sigma^*) -F^*(x^*+Delta x^*, y^*, sigma^*) + F^*(x^*+Delta x^*, y^*, sigma^*) cr
= frac{partial F^*}{partial sigma^*}Delta sigma^* + F^*(x^*+Delta x, y^*, sigma^*) cr
end{array}]
[egin{array}{l}
frac{partial F}{partial x} = frac{frac{partial F^*}{partial sigma^*}Delta sigma^* + F^*(x^*+Delta x^*, y^*, sigma^*) - F^*(x^*, y^*, sigma^*) }{Delta x} cr
= frac{partial F^*}{partial sigma^*}frac{partial sigma^*}{partial x} + frac{partial F^*}{partial x} cr
= frac{partial F^*}{partial sigma^*}frac{partial sigma^*}{partial x} + frac{partial F^*}{partial x^*}frac{partial x^*}{partial x}
end{array}]
故 (
abla F) 在 (sigma) 坐标内表示形式为
[egin{array}{l}
(frac{partial F^*}{partial sigma^*}frac{partial sigma^*}{partial x} + frac{partial F^*}{partial x}, frac{partial F^*}{partial sigma^*}frac{partial sigma^*}{partial y} + frac{partial F^*}{partial y})end{array}]
将上面的 (frac{partial sigma^*}{partial x}) 代入便可得到完整表达形式。与笛卡尔坐标系差别很大的根本原因就是 (sigma) 也是 x 和 y 的函数。