矩阵分析及其在线性代数中的应用(3-4)

矩阵分析及其在线性代数中的应用(3-4)

3. 矩阵代数

3.2 加和转置

• 标量：一个复数
• 两个矩阵相等：每个元素均相等
• 行向量，列向量
• 同shape的矩阵相加，逐元素的加
  1. 加运算的逆
  2. 矩阵的差
• 标量乘法：逐元素相乘(关于标量和矩阵均满足分配律)
• 原矩阵(A)，共轭矩阵(mathop{A}limits^{-})，矩阵的转置(A^{T})，共轭转置(伴随矩阵((A^{*}=A^{T})))
• 对称性：
  1. 对称阵　(A=A^{T})
  2. 反对称阵 (A=-A^{T})
  3. 厄米特阵 (A=A^{*})
  4. 反厄米特阵 (A=-A^{*})

3.3 线性性(Linearity)

• 线性函数：满足加法和数乘的函数
• 仿射函数：线性函数的转移
• 微分和积分算子也是线性的
• 转置函数和迹函数也是线性的
  迹函数：(A_{n imes n})主对角线上元素的和
• 线性组合的定义：对于标量(alpha_{j})和矩阵(X_{j})，(alpha_1 X_{1}+alpha_2 X_{1}+cdots+alpha_n X_{n} = sumlimits_{j=1}^{n}alpha_{j}X_{j}) 是 (X_{j})的线性组合

3.5 矩阵乘法

矩阵乘法起源于Caylay对线性函数的复合的研究

• 内积
• 一致的两个矩阵(A_{m imes p})与(B_{p imes n})的积(product)，(i,j)位置是(A)的第ｉ行与(B)的第ｊ列的内积
  1. 不满足交换律的矩阵乘法
  2. (AB = 0) 并不意味着　(A = 0) 或者　(B = 0)，因此消去法不成立
• 乘积中的行与列：两个矩阵(A_{m imes p}=[a_{ij}])与(B_{p imes n}=[b_{ij}])
  1. ([AB]{i*} = A{i*}B)
  2. ([AB]{*j} = AB{*j})
  3. ([AB]{i*} = a{i1}B_{1} + a_{i2}B_{2} + cdots + a_{ip}B_{p} = sum_{k=1}^{p}a_{ik}B_{k})
  4. ([AB]{*j} = A{1}b_{1j} + A_{2}b_{2j} + cdots + A_{p}b_{pj} = sum_{k=1}^{p}A_{k}b_{kj})