最短路径问题：Dijkstra算法

定义

所谓最短路径问题是指：如果从图中某一顶点（源点）到达另一顶点（终点）的路径可能不止一条，如何找到一条路径使得沿此路径上各边的权值总和（称为路径长度）达到最小。

下面我们介绍两种比较常用的求最短路径算法：

Dijkstra（迪杰斯特拉）算法

他的算法思想是按路径长度递增的次序一步一步并入来求取，是贪心算法的一个应用，用来解决单源点到其余顶点的最短路径问题。

算法思想

首先，我们引入一个辅助向量D，它的每个分量D[i]表示当前找到的从起始节点v到终点节点vi的最短路径的长度。它的初始态为：若从节点v到节点vi有弧，则D[i]为弧上的权值，否则D[i]为∞，显然，长度为D[j] = Min{D[i] | vi ∈V}的路径就是从v出发最短的一条路径，路径为(v, vi)。

那么，下一条长度次短的最短路径是哪一条呢？假设次短路径的终点是vk，则可想而知，这条路径或者是(v, vk)或者是(v, vj, vk)。它的长度或者是从v到vk的弧上的权值，或者是D[j]和从vj到vk的权值之和。

因此下一条次短的最短路径的长度是：D[j] = Min{D[i] | vi ∈ V - S}，其中，D[i]或者是弧(v, vi)的权值，或者是D[k](vk ∈ S)和弧(vk, vi)上权值之和。

算法描述

假设现要求取如下示例图所示的顶点V0与其余各顶点的最短路径：

我们使用Guava的ValueGraph作为该图的数据结构，每个顶点对应一个visited变量来表示节点是在V中还是在S中，初始时S中只有顶点V0。然后，我们看看新加入的顶点是否可以到达其他顶点，并且看看通过该顶点到达其他点的路径长度是否比从V0直接到达更短,如果是，则修改这些顶点的权值(即if (D[j] + arcs[j][k] < D[k]) then D[k] = D[j] + arcs[j][k])。然后又从{V - S}中找最小值，重复上述动作，直到所有顶点都并入S中。

第一步，我们通过ValueGraphBuilder构造图的实例，并输入边集：

MutableValueGraph<String, Integer> graph = ValueGraphBuilder.directed()
        .nodeOrder(ElementOrder.insertion())
        .expectedNodeCount(10)
        .build();
graph.putEdgeValue(V0, V2, 10);
graph.putEdgeValue(V0, V4, 30);
graph.putEdgeValue(V0, V5, 100);
graph.putEdgeValue(V1, V2, 5);
graph.putEdgeValue(V2, V3, 50);
graph.putEdgeValue(V3, V5, 10);
graph.putEdgeValue(V4, V3, 20);
graph.putEdgeValue(V4, V5, 60);

return graph;

初始输出结果如下：

nodes: [v0, v2, v4, v5, v1, v3], 
edges: {<v0 -> v5>=100, <v0 -> v4>=30, <v0 -> v2>=10, 
<v2 -> v3>=50, <v4 -> v5>=60, <v4 -> v3>=20, <v1 -> v2>=5, 
<v3 -> v5>=10}

为了不破坏graph的状态，我们引入一个临时结构来记录每个节点运算的中间结果：

private static class NodeExtra {
    public String nodeName; //当前的节点名称
    public int distance; //开始点到当前节点的最短路径
    public boolean visited; //当前节点是否已经求的最短路径（S集合）
    public String preNode; //前一个节点名称
    public String path; //路径的所有途径点
}

第二步，我们首先将起始点V0并入集合S中，因为他的最短路径已知为0：

startNode = V0;
NodeExtra current = nodeExtras.get(startNode);
current.distance = 0; //一开始可设置开始节点的最短路径为0
current.visited = true; //并入S集合
current.path = startNode;
current.preNode = startNode;

第三步，在当前状态下找出起始点V0开始到其他节点路径最短的节点：

NodeExtra minExtra = null; //路径最短的节点信息
int min = Integer.MAX_VALUE;
for (String notVisitedNode : nodes) {
    //获取节点的辅助信息
    NodeExtra extra = nodeExtras.get(notVisitedNode); 
    
    //不在S集合中，且路径较短
    if (!extra.visited && extra.distance < min) {
        min = extra.distance;
        minExtra = extra;
    }
}

第四步，将最短路径的节点并入集合S中：

if (minExtra != null) { //找到了路径最短的节点
    minExtra.visited = true; //并入集合S中
    //更新其中转节点路径
    minExtra.path = nodeExtras.get(minExtra.preNode).path + " -> " + minExtra.nodeName; 
    current = minExtra; //标识当前并入的最短路径节点
}

第五步，更新与其相关节点的最短路径中间结果：

/**
 * 并入新查找到的节点后，更新与其相关节点的最短路径中间结果
 * if (D[j] + arcs[j][k] < D[k]) D[k] = D[j] + arcs[j][k]
 */
//只需循环当前节点的后继列表即可(优化)
Set<String> successors = graph.successors(current.nodeName); 
for (String notVisitedNode : successors) {
    NodeExtra extra = nodeExtras.get(notVisitedNode);
    if (!extra.visited) {
        final int value = current.distance 
            + graph.edgeValueOrDefault(current.nodeName,
                notVisitedNode, 0); //D[j] + arcs[j][k]
        if (value < extra.distance) { //D[j] + arcs[j][k] < D[k]
            extra.distance = value;
            extra.preNode = current.nodeName;
        }
    }
}

第六步，输出起始节点V0到每个节点的最短路径以及路径的途径点信息

Set<String> keys = nodeExtras.keySet();
for (String node : keys) {
    NodeExtra extra = nodeExtras.get(node);
    if (extra.distance < Integer.MAX_VALUE) {
        Log.i(TAG, startNode + " -> " + node + ": min: " + extra.distance
                + ", path: " + extra.path); //path在运算过程中更新
    }
}

实例图的输出结果为：

 v0 -> v0: min: 0, path: v0
 v0 -> v2: min: 10, path: v0 -> v2
 v0 -> v3: min: 50, path: v0 -> v4 -> v3
 v0 -> v4: min: 30, path: v0 -> v4
 v0 -> v5: min: 60, path: v0 -> v4 -> v3 -> v5

具体Dijkstra算法的示例demo实现，请参考：

https://github.com/Jarrywell/GH-Demo/blob/master/app/src/main/java/com/android/test/demo/graph/Dijkstra.java