BZOJ 1797 最小割(最小割割边唯一性判定)

问题一：是否存在一个最小代价路径切断方案，其中该道路被切断？ 问题二：是否对任何一个最小代价路径切断方案，都有该道路被切断？ 现在请你回答这两个问题。

最小割唯一性判定

jcvb:

在残余网络上跑tarjan求出所有SCC，记id[u]为点u所在SCC的编号。显然有id[s]!=id[t]（否则s到t有通路，能继续增广）。

①对于任意一条满流边(u,v)，(u,v)能够出现在某个最小割集中，当且仅当id[u]!=id[v]；
②对于任意一条满流边(u,v)，(u,v)必定出现在最小割集中，当且仅当id[u]==id[s]且id[v]==id[t]。

①

<==将每个SCC缩成一个点，得到的新图就只含有满流边了。那么新图的任一s-t割都对应原图的某个最小割，从中任取一个把id[u]和id[v]割开的割即可证明。

②
<==：假设将(u,v)的边权增大，那么残余网络中会出现s->u->v->t的通路，从而能继续增广，于是最大流流量（也就是最小割容量）会增大。这即说明(u,v)是最小割集中必须出现的边。

# include <cstdio>
# include <cstring>
# include <cstdlib>
# include <iostream>
# include <vector>
# include <queue>
# include <stack>
# include <map>
# include <set>
# include <cmath>
# include <algorithm>
using namespace std;
# define lowbit(x) ((x)&(-x))
# define pi 3.1415926535
# define eps 1e-9
# define MOD 100000007
# define INF 1000000000
# define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
# define FOR(i,a,n) for(int i=a; i<=n; ++i)
# define FO(i,a,n) for(int i=a; i<n; ++i)
# define bug puts("H");
# define lch p<<1,l,mid
# define rch p<<1|1,mid+1,r
# define mp make_pair
# define pb push_back
typedef pair<int,int> PII;
typedef vector<int> VI;
# pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
typedef long long LL;
int Scan() {
    int res=0, flag=0;
    char ch;
    if((ch=getchar())=='-') flag=1;
    else if(ch>='0'&&ch<='9') res=ch-'0';
    while((ch=getchar())>='0'&&ch<='9')  res=res*10+(ch-'0');
    return flag?-res:res;
}
void Out(int a) {
    if(a<0) {putchar('-'); a=-a;}
    if(a>=10) Out(a/10);
    putchar(a%10+'0');
}
const int N=5005;
//Code begin...

struct Edge{int p, next, w;}edge[120005];
int head[N], cnt=2, s, t, vis[N];
queue<int>Q;
int Low[N], DFN[N], Stack[N], Belong[N], Index, top, scc;
bool Instack[N], ans[60005][2];

void add_edge(int u, int v, int w){
    edge[cnt].p=v; edge[cnt].w=w; edge[cnt].next=head[u]; head[u]=cnt++;
    edge[cnt].p=u; edge[cnt].w=0; edge[cnt].next=head[v]; head[v]=cnt++;
}
int bfs(){
    int i, v;
    mem(vis,-1);
    vis[s]=0; Q.push(s);
    while (!Q.empty()) {
        v=Q.front(); Q.pop();
        for (i=head[v]; i; i=edge[i].next) {
            if (edge[i].w>0 && vis[edge[i].p]==-1) {
                vis[edge[i].p]=vis[v] + 1;
                Q.push(edge[i].p);
            }
        }
    }
    return vis[t]!=-1;
}
int dfs(int x, int low){
    int i, a, temp=low;
    if (x==t) return low;
    for (i=head[x]; i; i=edge[i].next) {
        if (edge[i].w>0 && vis[edge[i].p]==vis[x]+1){
            a=dfs(edge[i].p,min(edge[i].w,temp));
            temp-=a; edge[i].w-=a; edge[i^1].w += a;
            if (temp==0) break;
        }
    }
    if (temp==low) vis[x]=-1;
    return low-temp;
}
void Tarjan(int u){
    int v;
    Low[u]=DFN[u]=++Index; Stack[top++]=u; Instack[u]=true;
    for (int i=head[u]; i; i=edge[i].next) {
        if (edge[i].w==0) continue;
        v=edge[i].p;
        if (!DFN[v]) {
            Tarjan(v);
            if (Low[u]>Low[v]) Low[u]=Low[v];
        }
        else if (Instack[v]&&Low[u]>DFN[v]) Low[u]=DFN[v];
    }
    if (Low[u]==DFN[u]) {
        ++scc;
        do{v=Stack[--top]; Instack[v]=false; Belong[v]=scc;}while (v!=u);
    }
}
void solve(int n){
    mem(DFN,0); mem(Instack,0);
    Index=scc=top=0;
    FOR(i,1,n) if (!DFN[i]) Tarjan(i);
}
int main ()
{
    int n, m, u, v, w, tmp, res=0;
    n=Scan(); m=Scan(); s=Scan(); t=Scan();
    FOR(i,1,m) u=Scan(), v=Scan(), w=Scan(), add_edge(u,v,w);
    while (bfs()) while (tmp=dfs(s,INF)) res+=tmp;
    solve(n);
    for (int i=2; i<cnt; i+=2) {
        if (edge[i].w) {puts("0 0"); continue;}
        u=edge[i].p, v=edge[i^1].p;
        if (Belong[u]!=Belong[v]) ans[i/2][0]=1;
        if (Belong[v]==Belong[s]&&Belong[u]==Belong[t]) ans[i/2][1]=1;
        printf("%d %d
",ans[i/2][0],ans[i/2][1]);
    }
    return 0;
}