复习笔记之背包

分类

1. 01背包

2. 完全背包

3. 多重背包

一、01背包

解决问题：n个物品有价值和重量两个属性，容量为m的背包，每个物品只取一次，能取到的最大价值

状态定义：dp[i][j]表示在前i个物品中选，容量为j，能取到的最大价值

状态转移：dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+c[i])这个物品取或者不取两种情况

滚动数组优化：第一维只与i-1有关，倒序转移

复杂度是(O(nm))的

例题：HDU Bone Collector luogu 采药 0629模拟赛T1也可以算01背包吧……

其实还是想找一些高质量的例题吧，这些都太裸了，有时间再看看

完全背包

解决问题：n个物品有价值和重量两个属性，容量为m的背包，每个物品可以取无数次，能取到的最大价值

状态定义：dp[i][j]表示在前i个物品中选，容量为j，能取到的最大价值

状态转移：dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i][j-w[i]]+c[i]) 选或者不选

滚动数组优化：需要覆盖，正序枚举

复杂度是(O(nm))的

例题：luogu 疯狂的采药

多重背包

解决问题：n个物品有价值和重量两个属性，容量为m的背包，每个物品可以取有限次，能取到的最大价值

二进制转化：因为一个数可以被拆分成多个2的k次幂相加，把一个物品拆成2的k次幂个物品，每个物品只能选一次，变成了01背包

复杂度是(O(msumlimits_{i = 1}^n logk_i))

代码：

void change(int tmpw,int tmpc,int tmpk){
	for (int i = 1;i <= tmpk;i <<= 1){
		w[++cnt] = i*tmpw,c[cnt] = i*tmpc;
		tmpk -= i;
	}
	if (tmpk) w[++cnt] = tmpw*tmpk,c[cnt] = tmpc*tmpk; 
}

例题：luogu 樱花

其他背包

一、恰好装满

将dp[0,...,N][0]初始为0，其它dp值均初始化为-inf

二、求方案总数

将取max/min 换成求和，例如：

dp[i][j] += dp[i-1][j]+dp[i-1][j-w[i]]+c[i]

三、二维费用背包

多开一维，其他和一维一样，比如01背包

dp[i][j] = max(dp[i-w1[k]][j-w2[k]],dp[i][j])

四、求最优方案

在转移的时候记录方案