AcWing 892. 台阶-Nim游戏

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台阶-Nim游戏

一、结论

如果奇数阶台阶的石子个数异或值不是零，则先手必胜。

如果奇数阶台阶的石子个数异或值是零， 则先手必败。

二、策略

• 如果对手是从奇数阶台阶拿石子

  (a_1) ^ (a_3) ^ ... ^ (a_n=x)

  (1) (x eq0) 一定存在某种方式，使得剩余石子的异或值变成零。

  (2) (x=0) 不管怎么拿，剩余的石子异或值肯定不为零。

• 如果对手是从偶数阶台阶拿石子

  我就把对手拿的个数，顺次放到下一级台阶上，比如，对手从(4)阶台阶拿(2)个石子到(3)阶台阶，我们就从(3)阶台阶，把这(2)个石子拿到(2)阶上。效果就是奇数阶台阶的石子个数没有改变。这样奇数阶台阶的异或值还是一样的，没有改变。

因此无论后手如何移动，先手总能通过操作把奇数异或为(0)的情况留给后手，当奇数台阶全为(0)时，只留下偶数台阶上有石子。

核心就是：先手总是把奇数台阶异或为(0)的状态留给对面，即总是将必败态交给对面。

因为偶数台阶上的石子要想移动到地面，必然需要经过偶数次移动，又因为奇数台阶全(0)的情况是留给后手的，因此先手总是可以将石子移动到地面，当将最后一个（堆）石子移动到地面时，后手无法操作，即后手失败。

因此如果先手时奇数台阶上的值的异或值为非(0)，则先手必胜，反之必败！

三、代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
int n;
int res;

int main() {
    //优化输入
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int x;
        cin >> x;
        if (i % 2) res ^= x;
    }
    if (res) puts("Yes");
    else puts("No");
    return 0;
}