火题大战Vol.0 B 计数DP

火题大战Vol.0 B

题目描述

(n) 个沙茶，被编号 (1)~$ n$。排完队之后，每个沙茶希望，自己的相邻的两人只要无一个人的编号和自己的编号相差为 (1)（(+1) 或(-1)）就行；

现在想知道，存在多少方案满足沙茶们如此不苛刻的条件。

输入格式

只有一行且为用空格隔开的一个正整数 (N)。

输出格式

一个非负整数，表示方案数对 (7777777) 取模。

样例

样例输入

4

样例输出

2

样例解释

有两种方案 (2 4 1 3) 和 (3 1 4 2)

数据范围与提示

对于(30\%)的数据满足(N leq 20)

对于(100\%)的数据满足(1 leq N leq 1000) ;

分析

我们设 (f[i][j][0]) 为填了 (1)到(i),当前有 (j) 对两两之间相差一的人,并且(i)和(i-1)不相邻的方案数

设 (f[i][j][1]) 为填了 (1)到(i),当前有 (j) 对两两之间相差一的人,并且(i)和(i-1)相邻的方案数

对于(f[i][j][0])，如果我们在这(j)对人的中间插入一个数，那么两两之间相差一的人会少一对，因为此时(i)和(i-1)不相邻

转移方程 (f[i+1][j-1][0]+=j imes f[i][j][0])

如果我们在(i)的旁边插入(i+1),那么两两之间相差一的人会多一对，并且(i)和(i+1)相邻，因此会转移至 (f[i+1][j+1][1])

转移方程 (f[i+1][j+1][1]+=2 imes f[i][j][0])

此时，我们在剩下的位置插入不会对对数产生影响，即

(f[i+1][j][0]+=(i-1-j) imes f[i][j][0])

对于(f[i][j][1]) 如果我们在(i)和(i-1)的中间插入(i+1),则有

(f[i+1][j][1]+=f[i][j][1])

如果我们在(i)的另一边插入(i+1)，则有

(f[i+1][j+1][1]+=f[i][j][1];)

如果我们在其它的 (j-1) 个空位中插入，则有

(f[i+1][j-1][0]+=f[i][j][1]*(j-1))

如果我们在其它的空位中插入，则有

(f[i+1][j][0]+=f[i][j][1]*(i-j))

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e3+5;
#define int long long
int f[maxn][maxn][3];
const int mod=7777777;
signed main(){
	int n;
	scanf("%lld",&n);
	f[2][1][1]=2;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=0;j<i;j++){
			f[i+1][j-1][0]+=j*f[i][j][0];
			f[i+1][j-1][0]%=mod;
			f[i+1][j+1][1]+=2*f[i][j][0];
			f[i+1][j+1][1]%=mod;
			if(i-j-1>0){
				f[i+1][j][0]+=(i-1-j)*f[i][j][0];
				f[i+1][j][0]%=mod;
			}
			if(j-1>0) {
				f[i+1][j-1][0]+=f[i][j][1]*(j-1);
				f[i+1][j-1][0]%=mod;
			}
			f[i+1][j][1]+=f[i][j][1];
			f[i+1][j][1]%=mod;
			f[i+1][j+1][1]+=f[i][j][1];
			f[i+1][j+1][1]%=mod;
			f[i+1][j][0]+=f[i][j][1]*(i-j);
			f[i+1][j][0]%=mod;
		}
	}
	printf("%lld
",f[n][0][0]);
	return 0;
}