有环图上的动态规划总结

对于状态转移有环的动态规划，使用如下方式求解：

1. 若转移里没有max/min，只有加减乘除运算，可以建立方程组，通过高斯消元在(O(n^3))得出解。
2. 若转移只是对一些元素取max/min（或第k大/小值），再加/减一个值，可以建图，使用dij或spfa求解。
3. 若u依赖v，且若v能更新u，则dp[u]>=dp[v]，且求的是min（例如(dp(u)=min(S(u)+sum dp[v],K(u)))）。
   每次：
   1：把值最小的点标记
   2：if 一个点u依赖的所有v都被标记
             计算dp(u)，并标记u，
   3：回到1
   直到所有点被标记。
   就结束。

4.若2，3都不满足，可以使用如下方法：
先把每个点都入队，每次从队首取出u，并计算dp(u)，若dp(u)发生更新，则把依赖u的v都加入队列（前提是v不在队列中）。
这个方法很像spfa，但时间复杂度约为(O(nm))。
例题：tiger
老虎会堵住最小的，所以求的是次小值，是情况2，dij即可。
代码：

#include <stdio.h>
#include <queue>
using namespace std;
int fr[100010],ne[2000010];
int v[2000010],w[2000010],bs=0;
int bk[100010],zd[100010],N,M,K;
int ck[100010],inf=1e9;
int cd[100010];
struct SJd
{
	int cd,u;
	SJd(int Cd,int U)
	{
		cd=Cd;
		u=U;
	}
};
bool operator<(const SJd a,const SJd b)
{
	return a.cd>b.cd;
}
void addb(int a,int b,int c)
{
	v[bs]=b;
	w[bs]=c;
	ne[bs]=fr[a];
	fr[a]=bs;
	bs+=1;
}
int dij()
{
	priority_queue <SJd> pq;
	for(int i=0;i<N;i++)
		zd[i]=cd[i]=inf;
	for(int i=0;i<K;i++)
	{
		pq.push(SJd(0,ck[i]));
		cd[ck[i]]=zd[ck[i]]=0;
		bk[ck[i]]=1;
	}
	while(!pq.empty())
	{
		SJd he=pq.top();
		pq.pop();
		if(bk[he.u]==0)
		{
			bk[he.u]=1;
			continue;//忽略最小值
		}
		if(bk[he.u]==2)
			continue;
		bk[he.u]=2;
		for(int i=fr[he.u];i!=-1;i=ne[i])
		{
			int t=he.cd+w[i];
			if(t<zd[v[i]])
			{
				cd[v[i]]=zd[v[i]];
				zd[v[i]]=t;
				pq.push(SJd(t,v[i]));
			}
			else if(t<cd[v[i]])//求次小值
			{
				cd[v[i]]=t;
				pq.push(SJd(t,v[i]));
			}
		}
	}
	return cd[0];
}
int main()
{
	scanf("%d%d%d",&N,&M,&K);
	for(int i=0;i<N;i++)
		fr[i]=-1;
	for(int i=0;i<M;i++)
	{
		int a,b,c;
		scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
		addb(a,b,c);
		addb(b,a,c);
	}
	for(int i=0;i<K;i++)
		scanf("%d",&ck[i]);
	printf("%d",dij());
	return 0;
}

例题2：[AHOI2014/JSOI2014]骑士游戏
使用方法3。